的速度运动。
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库仑定律与相对论
在S’系中静止Q对运动的q的作用力为
Fx
1
4 0
Qqx r3
Fy
1
4 0
Qqy r3
Fz
1
4 0
Qq z
r3
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6
库仑定律与相对论
由
Fx
Fx
v c2
F
u
1
ux
v c2
1
4 0
Qqx r3
力
的 变 换 公
Fy
4
库仑定律与相对论
图中源电荷Q相对于实验室（S系）以速度u沿 x轴运动，受力电荷q，相对于实验室静止。
设 在 t=0 时 ， Q 经 过 S 系
的原点，q在S系中的坐
标为（x，y，z）建立
一 个 坐 标 系 S’ 随 Q一 起
沿x轴运动(v=u)，则在S’
系内Q是静止的，而在S’
系中q则以 ux -v
1
1- v2 c2
则 r x2 y2 z2 2x2 y2 z2
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库仑定律与相对论
• 所以S系中观测力可以改写为
Qqx
Fx 40 2 x2 y2 z 2 3/ 2
Fy
4 0
2x2
Qqy y2 z2
3/ 2
Fz
4 0
2x2
Qqz y2 z2
电磁学专题——
库仑定律与相对论
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库仑定律与相对论
• 库仑定律的表述：
在真空中，两个静止点电荷之间的相互
作用力的大小，与它们的电量q1和q2的 乘积成正比，与它们之间距离r的平方 成反比。
F12
1
40
q1 q2 r122
rˆ12
rˆ12 是q1指向q2的单位长度矢量
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(1) 首先写出在与Q相对静止的 S’系 (以u沿x 轴相对于S系运动)中，静止电荷Q作用于以 速度v运动的电荷q上的库仑力；
F
1
4 0
Qq r3
r
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库仑定律与相对论
(2)利用洛仑兹变换将力变换到S系中得：
F
Qq
r
qu Qv r
40r3
将上式改写为
F
4
F
1
2
Qqr
40 r 3
等于通常库仑力的
1
2
倍；
➢ 若q、Q的连线垂直于Q的运动方向，q的坐
标（0，y，z），F
库仑力的 倍。
4 0
Qqr
y2 z2
为通常
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库仑定律与相对论
➢ 运动电荷在其速度方向产生的电场较小， 而在垂直于运动方向产生的电场较大，电场 不再是球对称分布。
2
库仑定律与相对论
围绕库仑定律，讨论如下几个问题：
(1) 电荷的运动状态对电荷间的作 用力有怎样的影响？
(2) 电荷间的作用力是否满足牛顿 第三定律? (3) 库仑定律的适用范围
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库仑定律与相对论
首先用相对论变换讨论运动源电 荷对检验电荷的作用力
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的平面内
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Fy 1 - v 2 c 2
1
u x
v c2
Qqy 40 r3
式 得
Fz
Fz
1- v2 c2
1
u x
v c2
Qqz 40 r3
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库仑定律与相对论
其中 u -v -u
在S’系中，t=0时观察，q的坐标为
x x - vt x
1- v2 c2
y y z z
➢ 在S系中，Q对q的作Q用qr力为
FQq 40 2 x2 y2 z2 3/2
q对Q的作用力为
FqQ
1
4 0
qQ r3
- r
所以，考虑相对论效应时，Q对q的作用力和
q对Q的作用力不满足牛顿第三定律
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库仑定律与相对论
匀速运动电荷的电场和磁场
设在S 系中源电荷Q以匀速v沿x轴运动， 试验电荷q以任意速度u运动，计算Q作用在q 上的力。
0c
2
Fe Fm
q
r3
E
u
B
其中
E B
Q
4 0
Q
r3
r r v r
2x2
v
E
y2
z2
40 r3 c2
c2
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库仑定律与相对论
讨论：
➢ 匀速运动的电荷的电场仍然是径向的，但不 是球对称的；
v
x
运动电荷的电力线分布
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库仑定律与相对论
➢度又B（垂磁直感于应电线场的E（方电向力）线既的垂方直向于）电；荷Q的速
y
E
+q
B
z
x
运动电荷的磁力线
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库仑定律与相对论
➢ 当电荷Q的运动速度 v c 时， 1
E
Q
r
4 0 r 3
B
0
Qu r
4
r3
可见低速运动的电荷的电场近似为静电场。
➢ 当 v c 电磁场趋于集中在与 v垂直
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库仑定律与相对论
写成矢量式
Qqr
F 40 2 x2 y2 z2 3/2
上式即为运动的源电荷Q对静止电荷q 的作用力（在S系中），可见力仍在两 者连线的方向上，但大小不再与距离 的平方成正比。
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库仑定律与相对论
分析：
➢ 若q位于源电荷Q的运动直线上，y=0，z=0 ，