对于高斯光束：
p 是高斯光束脉冲宽度
E(t ) A0 exp{4ln 2(t / p ) 2 / 2}
将初始的高斯波形脉冲带入下式：
E ( z, t )
1 i[0 ( t ) 0 / 4] i ( t ') i ( t ' t )2 /(2 ) e A(t ')e e dt ' 2
第四章 超短激光脉冲特性
2 .高斯光束在色散介质中的传播
于是一个高斯波形脉冲在色散介质中传播后的场强
E ( z, t ) A0 (2 ) ( ) exp{i[0 (t ) 0 2]} 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 exp{ ( ) t }exp{i ( ) t }
2 .高斯光束在色散介质中的传播
超短激光脉冲通过正常和反常色散介质后脉冲波形的变化
Group velocity dispersion broadens ultrashort laser pulses
Different fquencies travel at different group velocities in materials, causing pulses to expand to highly "chirped" (frequency-swept) pulses.
由于群速度的定义不包含长度, 因而在对于光栅对等空间色散元 件的评价时很不方便, 于是人们倾向于对相位的整体的关注.则 电场可以写为:
E( z, t ) A( z, t ) exp{i( 0t ( ))}
位相Φ (ω )也可以展开成Taylor级数
( ) (0 ) |0 ( 0 ) 1 1 ( 0 ) 2 ( 0 ) 3 0 2! 0 3!
sec h 2 {1.763(t / p )} exp{ 1.385 t / p )2} (
[1 1.656 (t / p ) 2 ]2
sec h 2 [( p ) / 3.526]
exp{ ( p ) 2 / 4 ln 2}
1.749/ p
2.355 2 ln 2 / p
得到高斯光束在色散介质中传播后的脉冲是：
E ( z, t )
1 i[0 ( t ) 0 / 4] t ' 2 i ( t t ')2 e dt ' A0e e 2
4 ln 2(t / p ) 2 / 2
1/(2 )
如果 0 （反常色散介质），由 (t ) d out dt 导出一个按时 间一次函数递减的频率扫描，这种现象称为线性下啁啾(linear down-chirp), 脉冲的前沿的频率比脉冲后沿的频率高 。 即使入射脉冲没有啁啾，通过色散介质后，也会产生啁啾。
第四章 超短激光脉冲特性
振幅A（z，t）在缓变振幅近似条件下, 可以看作常数。k（ω） 是含有介质折射率的波矢。
k ( ) n( ) / c ( ) ( ) 0 0 1 e ( ) 1 m ( )
应用Talor级数，可以将 k（ω）展开
k ( ) k ( ) k ' |0 ( 0 )
结论：在介质中传播后的脉冲除了附加了
0 / 4 的相移, 还加了一项相位调制因子
1
2
和
exp{i(t ' t )2 /(2 )}
初始脉冲的振幅A（t）在缓变条件下可以近似为不变，方便 处理问题，初始位相可以假定为0
第四章 超短激光脉冲特性
2 .高斯光束在色散介质中的传播
超短激光脉冲在色散介质中传播时，由于色散效应引起的脉宽 展宽以及脉冲啁啾的产生是超短脉冲光学一大特征。 本节讨论超短脉冲在色散介质中的传播。
第四章 超短激光脉冲特性
4.2.1 平面波啁啾脉冲
假设角频率为ω的光脉冲沿z方向传播, 用标量复平面波形式表示
E( z, t ) A( z, t )exp{i(0t k () z)}
2 .高斯光束在色散介质中的传播
出射脉冲的相位：
out (t ) {( 2)( 2 4 a0 )1}t 2 0 0 2 p
含有与二阶色散有关的相位调制项。
定义：如果 0（正常色散介质），由 (t ) d out dt 导出一 个按时间一次函数增加的频率扫描，这种现象称为线性上啁啾 (linear up-chirp), 脉冲的前沿的频率比脉冲后沿的频率低 。
第四章 超短激光脉冲特性
2 .高斯光束在色散介质中的传播
上式积分可以运用卷积定理求出，即先分别求 exp{ t 2 } 和 exp{ i t 2 } 的傅里叶变换, 再对它们的乘积作傅里叶逆变换。
exp{ 2 /(4 )}
上面两式乘积
exp{i2 /(4 )}exp{i 4}
第四章 超短激光脉冲特性
4.1 超短激光的脉宽和光谱特性
脉冲越短，定义它的特性就越困难。在飞秒范围，即使“脉宽” 这样一个概念都很难确定。部分原因是很难界定脉冲的形状。 为了简化，常把脉冲形状近似为几种容易在数学上处理的函数 （高斯型，双曲正割型，洛伦兹型和非对称双曲正割型）。
典型的脉冲及光谱形状
脉冲类型 双曲正割型 高斯型 洛伦兹型 强度形状 光谱形状 带宽(FWHM) 时间带宽积 0.315 0.441 0.142 0.278
第四章 超短激光脉冲特性
4.2 平面波啁啾脉冲
其中 以及
( )
( )
( )
称为群延迟时间(group delay)
群延迟色散(group delay dispersion, GDD 三阶色散(third order dispersion, TOD)
() k () z () () z k
以及
注意
() k () z
即有关群延的量和群速的量不仅相差一个长度量, 还差一个符号。 如果我们说负的群速色散, 即是说正的群延迟色散。
对于光在介质中的传播, 可以写成Φ （ω ）=ω n(ω) l/c。 因为n一般是ω 的 函数, 求群延迟色散以及高阶色散都变成了对折射率求导数。对于光栅对和 棱镜对空间色散元件, 求群延迟色散以及高阶色散即是对空间路径求导数
sec h[( p ) / 2]
sec h[( p ) / 2]
0.891/ p
非对称 [exp{ / p } exp{ 3t / p }]2 t 双曲正割型
1.749/ p
由于孤子脉冲形成的机制，振荡器内输出的脉冲近似为双曲正割型。放大器 输出的脉冲，由于增益窄化等效应，脉冲形状近似为高斯型。
第四章 超短激光脉冲特性
1 .平面波啁啾脉冲波形变化
假定一个平面波脉冲通过一段色散介质，为了简单起见，忽略 偏振的变化，只考虑的二阶色散， 即群延迟色散。设z=0处入 射脉冲:
E( z 0, t ) A(t )ei ( t ) ei 0t
通过色散介质后的场强是初始场强的傅里叶变换乘以相位因子
第四章 超短激光脉冲特性
2 .高斯光束在色散介质中的传播
The pulse broadens with time but, from energy conservation, its time-integrated intensity remains constants.
第四章 超短激光脉冲特性
Group velocity dispersion produces a pulse whose frequency varies in time.
This pulse increases its frequency linearly in time (from red to blue).
In analogy to bird sounds, this pulse is called a "chirped" pulse.
i பைடு நூலகம் )
第四章 超短激光脉冲特性
1 .平面波啁啾脉冲波形变化
只考虑二阶色散 ( ) (0 ) | ( 0 )
0
1 0 ( 0 ) 2 2!
带入公式，经过系列积分计算，得到：
E ( z, t )
1 i[0 ( t ) 0 / 4] i ( t ') i ( t ' t )2 /(2 ) e A(t ')e e dt ' 2
s() 1 ( ) exp{i 4}exp{(1 i ) 2 / 4}
其逆傅里叶变换是
s(t ) ( 2 2 )1 4 exp{i( 2 4)}exp{ ( i )( 2 2 )1t 2}
其中
tan 1( )
1 2 2 2 1 4
利用
2 4 ln 2 / p,out 2 2 ( 2 2 ) 1 , 得到传播后的脉宽
p,out
p,out [1 a0 2 ( p )4 ]1 2 p
其中
a0 16(ln 2)2
结论：高斯脉冲通过含有二阶色散的介质后，不论色散的符号 如何，脉宽 随 2 迅速展宽。也就是说，在色散介质内，脉冲 光谱范围内依波长不同而产生了速度差。速度大的部分比速度 小的部分领先，因而脉冲被展宽了。
1 '' 1 k |0 ( 0 ) k ''' |0 ( 0 ) .... 2! 3!
第四章 超短激光脉冲特性
4.2.1 平面波啁啾脉冲
其中 以及
dk ( ) )0 d d 2 k ( ) k" ( )0 2 d k' (