a2 b2 2abcosC
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
8
9
余弦定 理
余弦定理 三角形任何一边的平方等于
其他两边平方的和减去这两边与它们
夹角的余弦的积的两倍.
A
a2 = b2 + c2 - 2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB
b
c
c2 = a2 + b2 - 2abcosC C
10
3
20
解三角形的四种基本类型
已知条件
定理选用
一边和二角 (如a,B,C)
正弦定理
两边和夹角 (如a,b,C)
余弦定理
两边和其中一 边的对角 (如a,b,A)
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剖 析定 理
问题2：公式的结构特征怎样？
（3）已知a、b、c（三边），可 以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
cosC a 2 b2 c 2 2ab
A 900 a2 b2 c2
A 900 a2 b2 c2 A 900 a2 b2 c2
13
剖 析定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？ （1）已知三边求三个 角；
（2）已知两边和它
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
c＝6，求A、B和C.
解：∵ cosA＝ b2＋c2－a2 ＝0.725， 2bc
∴ A≈44° ∵ cosC＝ a2＋b2－c2 ＝0.8071，
2ab ∴ C≈36°
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
( ) ∵sinC＝
c
sinA a
≈0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
19
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角
4、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角关 系的转化
3
实际问题
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再 利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过 计算求出山脚的长度BC
因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角， 利用计算器可得C≈33°，B=180o(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
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方法二：
根据余弦定理， a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o≈1 676.82， ∴a≈41(cm). 由余弦定理得
7
坐标法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C
点垂直于CB的直线为y轴，建立如
图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
1
复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
1、正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
2
复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
所以利用计算器可得C≈33°， B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
17
思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既
可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什 么利弊呢？ 注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的 两个角时，应先求最小的边所对的角.
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例 2、在ABC中，已知a＝7，b＝10，
cosB = a2 + c2 - b2 2ac
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
们的夹角，求第三 a2 = b2 +c2 - 2bccosA
边和其他两个角.
b2 = a2 +c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
14
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）.
B
a
10
剖 析定 理
问题1：勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一般 三角形中三边平方之间的关系，如何看这 两个定理之间的关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广.
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剖 析定 理
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美; （2）每个等式中有同一个三角形中的 四个元素，知三求一.（方程思想）
c2 a2 b2 2ab cosC
A
证明： AB AC CB
b
c
AB• AB (AC CB) • (AC CB)
AC • AC 2AC • CB CB • CB C a
B
∴
uur AB
2
=
uur AC
2
+2
uur AC
uur CB cos(1800 -C)+
uur CB
2
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
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例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解：b2 c2 a2 2ac cos B
72 c2 82 28 c cos600
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC 2 ac1 sin B 6 3
或S ABC
1 2 ac2 sin B
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
4
分析转化
A
实际问题
数学化:
c
B
在△ABC中，已知边AC，BC及∠C ,求AB.
5
一般化问题
任意一个三角形，已知两边和夹角，求第 三边.
即 若△ABC为任意三角形，已知BC=a，AC=b 及∠C，求AB边长c.
A
b
c= ?
c
a
B
6
向量法
若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：