C语言实验报告求定积分班级10信息与计算科学一班姓名戴良伟学号 211.描述问题 利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式 ，④梯形公式，⑤simpson 公式，⑥Gauss 积分公式求解定积分。

2. 分析问题定积分定积分的定义定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。

即()0,,,y x a x b y f x ====所包围的面积。

这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。

如下图：（图1）设一元函数()y f x =,在区间[],a b 内有定义。

将区间[],a b 分成n 个小区间[][][][]00112,,,,,......,i a x x x x x x b 。

设1i i i x x x -∆=-，取区间i x ∆中曲线上任意一点记做()i f ξ，作和式：()1lim n n i f i xi ξ→+∞=⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑ 若记λ为这些小区间中的最长者。

当0λ→时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数()f x 在区间[],a b 上的定积分。

记作：()ba f x dx ⎰ 其中称a 为积分下限，b 为积分上限，()f x 为被积函数，()f x dx 为被积式，∫ 为积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

定积分的几何意义[1]它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a ，x=b 之间的各个部分面积的代数和。

在x 轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号。

如图言实现定积分计算的算法利用复合梯形公式实现定积分的计算假设被积函数为()f x ，积分区间为[],a b ，把区间[],a b 等分成n 个小区间，各个区间的长度为h ，即()/h b a n =-，称之为“步长”。

根据定积分的定义及几何意义，定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。

将积分区间n 等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，n 越大，所得结果越精确。

以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思想。

复合梯形公式：()()()1122n n i i h T f a f x f b -=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑[2] 具体算法如下：算法一1：输入积分区间的端点值a 和b ；2：输入区间的等分个数n （要求n 尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3：计算步长()/h b a n =-；4：对累加和赋初值()/2a b T f f =-；5：计算累加和()11n i i T f x -==∑6：算出积分值n T T h =⨯；7：输出积分近似值n T ，完毕。

1.2.2利用Smpson 公式实现定积分的计算假设被积函数为()f x ，积分区间为[],a b ，把区间[],a b 等分成n 个小区间，各个区间的长度为h 。

在复合梯形公式的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。

作为一种外推算法， 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

具体算法如下：算法二1：输入积分上限b 和下限a ；2：输入区间的等分个数n （要求n 尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3：利用辛甫生公式：[][][]()42/3S n T n T n =⨯-[2]，实现对定积分的求解（其中[]2T n ，[]T n 均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式为基础的）；4：算出积分值S n ；5：输出积分近似值S，完毕。

n利用Guass公式实现定积分计算Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。

他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。

高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。

通常运用的是-1---+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。

算法三1：输入积分上限b和下限a；2：利用Guass公式，求定积分；4：算出积分值Sn5：输出积分近似值S，完毕。

n3.程序的编写程序一（左矩形公式）源程序#include<>#include<>void main(){double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf("积分下限 a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限 b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数 n :\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=f(a)*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+f(a+i*h)*h;}printf("函数 f(x) 的积分值为 s=%\n",s);}/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double x){double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);}程序一的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车程序二（中矩形公式）源程序#include<>#include<>void main(){double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/ double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/ printf("积分下限 a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限 b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数 n :\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=*(f(a)+f(a+h))*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))*h;}printf("函数 f(x) 的积分值为 s=%\n",s); }/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double x){double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);}程序二的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车程序三（右矩形公式）源程序#include<>#include<>void main(){double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/ double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/ printf("积分下限 a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限 b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数 n :\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=f(a+h)*h;for(i=1;i<n-1;i++){s=s+f(a+(i+1*h))*h;}printf("函数 f(x) 的积分值为 s=%\n",s); }/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double x){double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);}程序三的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车程序四（梯形公式）源程序#include<>#include<>void main(){double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/ double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/ printf("积分下限 a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限 b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数 n :\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=*(f(a)+f(a+h))*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))*h;}printf("函数 f(x) 的积分值为 s=%\n",s); }/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double x){double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);}程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车程序五（Simpson公式）源程序#include<>#include<>void main(){double T(double x,double y,int z); double a,b,s;int n;printf("积分下限 a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限 b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数 n :\n");scanf("%d",&n);s=(4*T(a,b,2*n)-T(a,b,n))/3;/*利用辛甫生公式求解定积分*/printf("函数 f(x) 的积分值为 s=%f\n",s);/*以下为复合梯形公式的定义*/double T(double x,double y,int z) {double h,Tn;int i;double f(double t);h=(y-x)/z;Tn=(f(x)+f(y))/2;for(i=1;i<z;i++)Tn=Tn+f(x+i*h);Tn=Tn*h;return (Tn);}/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/ double f(double t){double s;s=sqrt(4-t*t);return (s);}程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车程序六（Guass公式）源程序#include <>#include <>#define N 3float gass_integral(float (*)(float),float,float,int); void main(){float function_name(float);float a,b;printf("请输入积分上限b\n");scanf("%f",&b);printf("请输入积分下限a\n");scanf("%f",&a);float ans;ans=gass_integral(function_name,a,b,N);printf("ans=%f",ans);}-1---+1 之间float gass_integral(float (*func)(float x), float a,float b ,int n ){左矩形公式误差：%，中矩形公式误差：%，右矩形公式误差：%，梯形公式误差：%，辛普森公式和高斯公式误差几乎等于0，六个程序运行结果对比，在计算相同的函数f(x)=sqrt(4-x*x)的定积分，Simpson公式和Guass公式比矩形和梯形公式更可行，更有效。