圆锥曲线焦点弦公式及应用
湖北省阳新县高级中学邹生书
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。

定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。

（1）当焦点内分弦时，有
；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，
点在直线上的射影为。

由圆锥曲线的统一定义得，，又
，所以。

（1）当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2
评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右
焦点为，过且斜率为的直线交于两点。

若，则的离心率为（）
解这里，所以，又，代入公式得，所
以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的
离心率为。

过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）
解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，
所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜
角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿
图3
解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴
左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿
解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代
入公式得，所以。

例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。

若，则＿＿＿
解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式
，代入公式得，所以所以，所以。

定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准
距（焦点到对应准线的距离）为。

过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹
角为，则有。

证明设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交
直线于点，交直线于点。

由圆锥曲线的统一定义得，
，所以。

图4
（1）当焦点内分弦时。

如图4，，。

，
所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

图5
如图5，，。

所以，
所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。

焦点弦的弦长公式为。

特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径
，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。

当
曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。

注由上可得，当焦点内分弦时，有。

当焦点外分弦时，有。

例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作
倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。

例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。

（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。

解（1）这里，，由定理1的公式得，解得。

（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，
解得，即，所以①，又，设
，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。

例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为
的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解易知均在右支上，因为，离心率，点准距
，因倾斜角为，所以。

由焦半径公式得，。

例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解因为，离心率，点准距，因倾斜角为
，所以。

注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。

例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分
别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。

求四边形面积的最小值。

图6
解由方程可知，，则。

设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴
的夹角为。

代入弦长公式得，
，。

故四边形的面积为，。

所以四边形面积的最小值为。