投影法
适用范围: 由平面围成的情况
d xd y
D
z2 ( x, y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
同理 D : c y d ,
x1 ( y ) x x2 ( y ), 得
f ( x , y , z )dz d
f ( x, y, z )dv
x
2
z
Dz
则
而
zdxdydz

Dz
zdz dxdy
0 Dz
2
c
a
b
y
dxdy S
Dz
2 z z z 2 2 a (1 2 ) b (1 2 ) ab(1 2 ), c c c
z2 1 2 ab ( 1 ) zdz 原式 abc . 2 0 c 4

f ( x, y, z ) d v 用三次积分表示,其中由
六个平面 x 0 , x 2 , y 1, x 2 y 4 , z x , z 2 所
围成 , f ( x, y, z ) C () . 提示:
1x 1 y 2 : 2
2
2 1 x 2
I
例.计算三重积分
面及平面 解:
其中 为三个坐标 所围成的闭区域 .
1 2 2 2 I d x d y d z x y z , . 计算 , 其中 由锥面 例2. 2 2 x y 1
及平面z 1围成.
x 2 y2 z 1 解： : 2 2 x y 1
r2 4
dz
x
o
y
2
2 h 0
r r (h ) d r 2 1 r 4
dv r d r d d z
4. 计算
其中
1 2 由 z ( x y 2 ), z 1, z 4 围成 . 2
解: 利用对称性
z
4 1 o
1 ( x 2 y 2 ) d x d y d z 2 1 4 2 2 d z ( x y ) d x d y Dz 2 1 2 2z 3 1 4 d z d r d r 21 0 0 2 1
补充：三重积分对称性：
1、变量位置对称性： 设由 ( x , y , z ) 0表示，若 ( y , x , z ) 0仍 表示， 则 f ( x , y , z )dv f ( y , x , z )dv.

例：：x 2 ＋y 2 ＋z 2 a 2 , 则 f ( x )dv f ( y )dv f ( z )dv
解
2
( x y z)
2 2 2
2
x y z 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于 y 的奇函数,
且 关于 zox 面对称,
( xy yz )dv 0 ,

同理
zx 是关于 x 的奇函数,
且 关于 yoz 面对称,
投影区域 Dxy ：x 2 y 2 1,
0 2,
2 1 0 0
0 r 1,
2 r 2 r
r2 z 2 r2 ,
2 2 2
I d dr 2
r ( 2r cos z )dz
( 90 2 89). 60
思考与练习
1. 将 I
o D xy
y
曲面与 xOy 坐标面交于 x 轴和 y 轴 . 所以
I
y
D xy
dxdy 0
1 1 x 0 0
xy
x y1
f ( x, y, z )dz
xy
dx
dy f ( x, y, z )dz
0
O
x
方法2. 截面法 (“先二后一”)

D
f ( x , y , z )dv
4. 微元法
5. 对称奇偶性*
6.中值定理.
V 为 的体积, 则存在
在有界闭域 上连续,
使得
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 三次积分法 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
记作
三次积分法
z1 ( x, y) z z2 ( x, y)
D

Z2 ( x, y)
Z1 ( x , y )

dy
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
dx

z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
同理可得用平行于x（或y）轴的直线穿如 不多于两点上三重积分可先对x(或y )积分， 再对yoz(或xoz)面上区域作二重积分展开即可。
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面 关于xoy面对称
z ln( x 2 y 2 z 2 1) dxdydz 0. 2 2 2 x y z 1
例 计算 ( x y z )2 dxdydz其中 是由抛物面
z x 2 y 和球面 x 2 y 2 z 2 2所围成的空间闭 区域.

c1
c2
dz
f ( x , y , z )dxdy
z
Dz
特别适用于积分区域中一坐标 的范围易获得，截面范围易表 示的情况。
c2
特别对 f ( z )dv更有效（＝ ）。 f ( z ) S Dz dz
c1
例3. 计算三重积分


zd xd yd z , 其中 为三个坐标
其中 Dr ： , r1 ( ) r r2 ( ) .
则有
drd
D
z2 ( r , ) z1 ( r , )
f ( r cos , r sin , z )r dz
z2 ( r , ) z1 ( r , )
d


r2 ( ) r1 ( )
作
业
115页 3, 4, 6, 12, 13
第九章
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得
面及平面 x y z 1 所围成的闭区域 .
： 解:如图， 0 z 1, Dz 为 xoy 面上 x轴，
z
1
z
y 轴和 x y 1 z 围成的等腰直角三角形.
所以
zdxdydz 0 zdz dxdy

Dz
1
x
1
o
y
1
y
1
1 1 2 z (1 z ) dz 0 24 2
y
平面
z
r rc c
x
o
c
rc
y
z
z
r 常数
圆柱面 半平面 平面
M ( x, y , z )
常数
z 常数
o y ( x, y,0) x r
在柱面坐标下
cos sin 0
r sin r cos 0
0 0 r, 1
若 : z1 (r , ) z z2 (r , ) , (r , ) Dr
0 r 0 2 0
设区域 :
y1 ( x) y y2 ( x) ( x, y ) D : a xb
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
dx
a
b
y ( x ) d y z ( x, y )
1 1
y2 ( x )
z2 ( x,z
Dz
y
x
3.
利用球坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z ) R 3 , 令 OM r ,
ZOM , 则(r , , ) 就称为点M 的球坐标. z
直角坐标与球面坐标的关系
z
o
rM
y
x rsin cos y r sin sin z r cos
x 2 y2 z 2
x 2 y2 1
I
D xy
dxdy
极坐标
1 x2 y2
1 dz 2 2 x y 1
1 x 2 y2 dxdy 2 2 x y 1 Dxy

2
0
d
1
0
r r2 dr 2 1 r
1 r 2 ( 1)dr (ln2 2 ) 2 0 1 r 2
xzdv 0,

由 x,y 位置对称性知
则I
2 2 x dv y dv ,
2 ( x y z ) dxdydz
( 2 x 2 z 2 )dxdydz,

I ( 2 x 2 z 2 )dxdydz,

在柱面坐标下：


f ( x , y , z ) d xd y d z * F ( u, v , w ) J d udv d w

体积元素
2.
利用柱坐标计算三重积分
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: