~ ~ ν He > ν H
H (nm)
656.28 486.13 434.05
5. 类氢原子光谱
玻尔理论也适用于类氢原子光谱的解释。
• (1) μ−1 介子原子
1⎞ ⎛ 1 ~=R v − 2⎟ 类氢原子 ⎜ 2 ⎝m n ⎠
μ −1meson
+Ze
μ − 1 meson :-e
• (2)π−1介子原子
2. 氢原子光谱
Balmer found in 1885 that the wavelengths of fourteen lines of spectrum of the hydrogen atom could be extremely well reproduced by a relation of the form
(5)
P = mevr = nh ϕ
4πε 0 n 2 h 2 rn = me Ze 2
Ze 2 vn = n = 1,2,3 ⋅ ⋅ ⋅ 4πε 0 nh
(6)
（2）因为氢原子的核电荷数Z=1，所以
a.氢原子的轨道能量En ：
2π 2 me e 4 En = − (4πε 0 ) 2 n 2 h 2
a0—波尔半径（Bohr radius） c.氢原子的轨道速度Vn ： Vn ( H ) =
n =1
V1 ( H ) =
e2 4πε 0 h
≈ 2.2 × 10 6 m / s
（3）几个概念
a.量子数： En , vn , rn中正整数n为量子数 b.轨道图:按照轨道半径大小比例画出的图称为轨道图 c.能级与能级图: 与轨道对应的能量只能有分立的数值，这些数值即 为能级用一条横线代表一个能级，横线之间的距离 表示能量的间隔，按能量大小比例画出的图称为能 级图。
2π 2 me Z 2 e 4 En = − (4πε 0 ) 2 n 2 h 2
n = 1,2,3⋅ ⋅ ⋅
(4)
b. 轨道半径rn的推 导 – 由方程 (1)和 (3)得到rn 的表达式：
4πε 0 n h rn = 2 me Ze
c. 轨道速度vn的推 导来自2 2n = 1,2,3 ⋅ ⋅ ⋅
处于分立轨道或定态轨道上的电子的角动量也是量子 化的。
Pϕ = nh
h = h 2π
n为正整数
P = mevr ϕ
波尔的氢原子模型：
a. 电子只能在一系列一定大小的彼此分隔的轨 道上运动。
.
b. 轨道半径、角动量和能量是量子化的。
3.2.2波尔模型的实验验证之一：光谱
1.氢原子光谱
(1) 轨道能量En 、轨道半径rn 和轨道速度Vn的推 导 a. 轨道能量En的推 导
So we must now take the finite mass of the nucleus into account.
考虑原子核的运动后：
2π 2 μe 4 Z 2 En = − (4πε 0 ) 2 n 2 h 2
(4)
2π 2 μe 4 Z 2 1 1 ~= v ( 2 − 2) 2 3 (4πε 0 ) h c m n
me 2π 2 e 4 Z 2 ⋅ R= 2 3 (4πε 0 ) h c 1 + me M
for H, Z=1
(5)
me 2π2e4 1 RH = ⋅ = R∞ ⋅ 2 3 me (4πε0) h c 1+ me 1+ M M
RH=1.0967757×107 m-1 (计算值)
RH=1.0967758×107m-1 (实验值)
M >> me，RH = R∞
M > me (M ≠ ∞), RH < R∞
3.氘（Deuterium）的发现
1H 2H
Urey discovered special lines of Deuterium according to the Rydberg constant R
(Deuterium)
Δλ = (λH β − λDβ ) ≈ 0.1nm
帕 邢 系 （ 红 外 ）
- 3 .4 0 巴 耳 末 系 （ 可 见 光 ）
-R h c /2 2
- 1 3 .6 0 赖 曼 系 （ 紫 外 ）
-R h c /1 2
结论2: 上述线系的计算结果与实验值符合得非常好，再一次证 明 了波尔氢原子模型的正确性。
2.原子核的运动对光谱的影响
上一节的结果也显示RHcal 和RHexp相差超过1/10000。(the motion of the nucleus is neglected)
氢原子光谱的规律:
氢原子光谱的任一条谱线的波数都可表达为两光谱项之差，氢光谱是 各种光谱项差的综合。
1916 1885 1908 1922 1924
赖曼线系
巴尔末线系
(ultraviolet) (visible) (infrared) (infrared) (infrared)
m = 1 n = 2, 3, 4, K m = 2 n = 3, 4, 5, K m = 3 n = 4, 5, 6, K m = 4 n = 5, 6, 7, K
% ν=
ν
En − Em = c hc
把En的表达式
2π 2mee4 En (H) = − (4πε0 )2 n2h2
带入上述方程得：
me e 4 1 ⎞ ⎛ 1 ~＝ ν − 2⎟ 2 3 ⎜ 2 4π (4πε 0 ) h c ⎝ m n ⎠
与里德堡公式
% ν ≡ = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ λ ⎝ m n ⎠ n − m = 1, 2, 3, K
π −1 pion
:-e
mμ −1 = 207me
mπ −1 = 273me
• (3)电子偶素原子 1949 +
e
π −1 pion
e−
+Ze
对核外只有一个电子的原子体系，如何处 理En 、 rn公式中的质量问题呢？
n2 λ=B 2 n = 3, 4, 5, K n −4
~ ν = RH ⎜
B: 经验常数 n: 整数
B = 3645.6 Å
1 ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎟ 2 n ⎠ ⎝2
RH: 里德堡常数 ----巴尔末经验公式
巴尔末线系
n = 3,4,5,6...
n
∞ 线系限
~ ν ∞ = RH 4
1889
1
Rydberg Formula（广义巴尔末公式）
Hβ 1 −1 RH = R∞ ⋅ = 109677.584cm 1 + me M H 1 R D = R∞ ⋅ = 109707.419cm−1 1 + me M D Dβ
⎛ λD Δλ = λH − λD = λH ⎜1 − ⎜ λ H ⎝
⎛ RH ⎞ ⎞ ⎟ = λH ⎜1 − ⎟ ⎜ R ⎟ ⎟ D ⎠ ⎝ ⎠
b.氢原子的轨道半径rn ：
4πε 0 n 2h 2 rn ( H ) = me e 2
n = 1,2,3 ⋅ ⋅ ⋅
n =1
n = 2,3,4 ⋅ ⋅ ⋅
4πε 0 h 2 r1 = a0 = ≈ 0.053nm 2 me e
r2 = 4a0 ⋅ ⋅ ⋅
rn = n 2 a0
e2 4πε 0 nh
波尔对毕克林系的解释，再一次证明波尔理论的正确性。
1897年，天文学家毕克林发现了一个很像巴尔末系的光谱线系。
the Balmer series The Pickering series 毕克林系的特点： a.每隔一条谱线和巴尔末线系几乎重合 b.另有一谱线位于两巴尔末临近谱线之间 c.几乎重合的谱线也有差异 埃万斯从实验上证实了毕克林系就是He＋的线系。
m = 1, 2, 3, K 1⎞ ⎛ 1 % ν ≡ = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ λ ⎝ m n ⎠ n − m = 1, 2, 3, K
RH = 4 B = 1.0967758 ×107 m −1
里德堡公式（另外一种表达形式）
% ν = Tm − Tn
其中
Tn = R n2
－－光谱项（Spectral term）
帕邢线系 布喇开线系 普丰特线系
m = 5 n = 6, 7, 8, K
原子光谱的特点: • 线状谱
• 谱线对应的波数等于两光谱项之差
3.2 波尔模型
3.2.1 波尔假定
1.经典轨道加定态条件（波尔假定之一）
r
a)
氢原子的一个电子只能处于一些分立的轨道上，围绕核 做圆周运动，并且不产生电磁辐射。
b） 每个轨道对应的能量状态E1 ， E2 ，··· ，E n 是一些分 立的能量值。
4.类氢离子光谱
• 类氢离子（Hydrogen-like Ions） ：
原子核外只有一个电子,原子核带有Z>1的正电荷的离子，称类氢离 子。
• 例：He+,Li2+, Be3+, O7+, Cl16+ 等
1 R = Z R∞ ⋅ = Z 2 ⋅ RB me 1+ MB
2
RB= R
(element symbole)
Balmer Series
n ∞ 3
Paschen series
2
Lyman Series
energy level
1 2
3
n
4
轨道图
1
能级图
d.结合能
电子和原子核由自由态结合成原子时，所释放的能量称为 电子的结合能，基态氢原子的结合能为13.6eV。
e.原子的基态和激发态
描述原子能量状态的n=1即为基态，n>1即为激发态,n=2为 第一激发态。
2. 频率条件（波尔假定之二）