1中学数学教学中的向量齐民友(武汉大学数学与统计学院　430072)编者按　本刊将连载齐民友先生谈中学数学课程中向量、三角函数和复数的文章。

齐先生是武汉大学教授,是我国著名的数学家,曾在偏微分方程等研究领域内做出过重要贡献。

齐先生为培养数学人才倾注了毕生精力,他给本科生上课,指导研究生,编写偏微分方程等方面的教材,甚至在担任武汉大学校长,行政事物繁忙的四年多时间里,他仍然坚持上课,参加讨论班。

他认为培养年轻人,"共同治学,一乐事也"。

近年来,齐民友先生对数学教育特别关注,经常到湖北省和武汉市的中学教研室、师院、师专、教育学院等地讲学,从“集合论的基本知识”,“向量”,“中学老师进修的几个问题”,“国内外数学教育比较”到“世纪之交话数学”,题目广泛、观点明晰、思想深刻,有独到见解。

(见中国现代数学家传,第四卷)目前,世界上不少数学家参与到中小学教育中来,比如日本数学家,菲尔兹奖得主小平邦彦,日本学士院院士弥永昌吉,日本数学教育学会会长藤田宏等都编写过日本中学教科书,齐民友先生也参加了我国的中小学教材编写本刊发表的文章,就是齐先生在教材编写中的思考,相信会对老师们和数学教育工作者们有所启发。

正在推行的中学数学教学内容的改革中,增加了不少原来在高校讲授的内容,向量是一个突出的部分.这件事不少人认为是大学教学内容的‘下放’,因而有不少担忧.但是从科学发展的历史来看,‘下放’是不可避免的.例如小数,到16世纪才开始流行,现在则是小学算术的内容,谁也不说是‘博士研究课题下放’.从世界主要国家的中学数学教材来看,包含了微积分初步,概率论与统计学初步等等,已是普遍的现象.向量也是同样.考虑到教育是国力的基础,如果我国中学生的数学水平远远落在世界平均水平之下,则给我们带来的困难,将会比我们现在努力改进,充实数学内容,提高教师准备程度等等遇到的困难,大得无可比拟.但是简单地‘下放’也会事与愿违.现在的向量是在大学课程中教.由向量而到更抽象的线性空间;或者由向量而向量场,而微分几何,这些都是通向现代科学的大道.现在大学里的教法适合于这一途径,但是不完全适合中学教学所需.所以简单地用“初步”二字,把大学教材删节简化,当然会造成中学数学课负担过重,偏深偏难,老师无法教,学生无法学.所以一方面必须对大学教的向量等等内容的处理需作很大的改变,另一方面也需要改变中学教学多年来形成的习惯.否则向量的新内容与中学教材的主体很难融合.近年来,因为参与了中学数学教材的编写工作,与负责数学‘课标’、教材的编审的同志以及中学老师有不少接触,与近年高考命题阅卷的老师也有一些接触.各个初等数学教学刊物几乎每期都有与向量有关的文章.根据这些信息,写了下面的文章,抛砖引玉,以供切磋.先把我处理向量这一部分教材“总结”出来的几条“原则”提出来,可能有助于读者评论作者的想法和写法.在文中来再详细解释它们.(1)先用其“意”,慎用其“词”.把哪些是“意”,哪些是“词”各作适当处理.避免以“词”害“意”.也避免用“词”不准确引起误解.(2)从删繁就简进到化繁为简.(3)把“数形结合”这个笛卡儿等大师们研究数学的重大创造,转化为我们“教”数学和“学”数学的有力工具.1　什么是向量现在大多数教材都说:向量就是有大小有方向的量.其实不这么简单,应该说,我们在现实生活中遇到的许多量都有三个要素:2007年　第46卷　第4期 数学通报2　11起点,或作用点,着力点等等;21大小和方向.我们把这三个要素分成了两组,是因为它们对所研究对象的作用不同,研究方法也不同.现代数学中是先研究后一组:大小与方向,由此得到向量的概念和理论.所以才说向量就是有大小,有方向的量.例如人教版高中数学第二册(下B)(以下简称‘二下(B)’)的表述:“这个平移就是一个向量a‘由西向东平移4个单位长度’”(二下(B)26页)就是准确的.它得到了向量之意:方向由西向东,大小4个单位,而完全不讲平移的起点.但是有的书上说:两个大小与方向都相等而仅有起点不同的有方向的量就‘看成’或‘当作’同样的‘量’或同样的‘向量’,这种表述会引起误解.下面举三个‘怪论’.(1)教室南墙的天花板缝与地板缝,如果由西向东量,显然大小与方向都相同,东墙的天花板缝和地板缝也是一样的.如果把天花板缝和地板缝‘看成’同样的向量,那么东墙的天花板缝和南墙的地板缝是决定了天花板还是地板?所以必须把墙缝的起点考虑进去,它们不是只有大小与方向的向量,而是同时还有起点的有向线段.两个具有公共起点的不平行的有向线段才能决定一个平面.但是即令这一点也需解释.(2)由北京到天津可由一个平移来完成(注意,平移按定义是沿一定方向的运动,乘火车“由北京到天津”只表示旅客的位置变动最终由一向量表示,而不表示实际的运动路径———铁道———是一直线),再由济南到南京又用一个向量来表示.两个向量可以相加,那么(北京到天津)+(济南到南京)有什么意义?所以旅行一定有起点,旅行应由有向线段来表示,绝不能忽略起点而只考虑大小和方向.两个有向线段只有首尾相连时才谈得上相‘加’.所以上面提到的‘加法’没有意义.(3)第三个怪论更类似胡搅蛮缠:北京起了北风,风速每秒3米,这是一个向量.上海起了东风,风速也是每秒3米,这又是一个向量.两个向量可以相加,成为东北风,风速每秒32米.可是,是南京起了东北风,还是济南起了东北风?这个怪论的性质与前两个还不同.因此,我建议在一开始就对向量作如下表述:“在物理学和几何学中有许多量要采用有向线段来描述.有向线段必有三个要素:起点,大小与方向.但是起点与另两个要素性质和处理方法都不同.所以我们暂时把起点放在一边,而称有大小和方向的量为向量”.但是如果没有起点,向量就无法表示.因此为了对向量作几何描述,我们规定把向量的起点放在原点.这样就得到:起点在原点而有一定大小、方向的量.(见图1)图1　AB,C D是同样的向量这种表述与现行教材有很大的区别.例如下图中的两个向量按现有教材说是相同的.而按我们的说法,则只看到两个有向线段,其大小与方向虽相同,起点则不同.所以我们只能说,它们包含了相同的向量v(什么叫包含下面要细说),作为自己的成份.这样做有什么好处?首先,它避免了上面的前两个怪论.其次,由此继续讲向量的运算之几何意义最为方便.可是最重要的是:它最便于建立向量的第二种表述:坐标描述(或称R n描述.以下我们只讨论R3,即讨论三维空间中的向量,但是结果对于平面向量也成立.)因为一方面,若取基底向量i,j, k(都以原点为起点),则用平行四边形法则,一定有三个实数vx,v y,v z使v=v x i+v y j+v z k,从而v=(v x,v y,v z).反过来,若给定了一组实数(v x, v y,v z),也可以通过以上作法得到v,其起点仍在原点.总之有一个一一对应.由此可见,只要把基底向量的起点放在原点,则得到的一切向量起点也必在原点.所以规定向量的起点在原点其实是最自然的选择.图2　向量的起点都放在原点那么,为什么现行教材都不作这样的限制呢?作者认为可能是由于一个考虑:例如在把向量应用于几何问题时,向量起点总是要变动的.但是,作者以为,如果明确提出:在解决几何问题时,一方面系统地跟踪起点的变动,另一方面对只具大小与方向的向量按照向量理论的方法来处理———这是应用向量于几何问题时关键性的思想.这时很容易看到在向量的几何描述中规定用起点在原点的有向线段来表示向量,不但不会影响向量概念的数学通报2007年　第46卷　第4期3　广泛性,而且会使其应用更加方便.下面还要用许多例子详细解释.以上我们得到了向量的几何描述.这样得到的向量的集合具有线性结构,即有两种运算:加法———用几何语言来讲即平行四边形法则,以及数乘向量———位似中心在原点的位似变换,而且有以下的基本定理:任一向量v必可表示为某一组基底i, j,k的线性组合v=v x i+v y j+v z k(1)而且这种表示是唯一的.于是三维空间当选定了原点以后就会被向量的端点填满.因此,这个空间就称为一个向量空间或线性空间.所以比较准确的说法是:向量空间———线性空间———就是有一个特定原点(这一点是非常重要的),容许两种运算的R3(或R n,R2).向量还有另一种表述,即表为一组n个(例如3个)实数v=(vx,v y,v z),称为坐标描述.它的主要优点在于:一切运算都化成了数的代数运算.这两种描述之间有一种对应关系:以原点为起点的有向线段v～(v x,v y,v z)这种对应关系不只是一一对应,而且保持运算关系.这样的对应关系称为同构.同构是最基本的数学概念之一.有了两种描述后就可以问;既然说向量有两种描述,那就是说向量还有其自身,那么向量自身是什么?或者说向量的定义是什么?可以确定地说“向量就是有大小有方向的量”不是定义.因为在数学中给出了一个定义后,一定能推导出被定义的对象的种种性质.例如由等腰三角形之定义———有两边相等的三角形,就可以推导出它的两个底角相等,底边的中线一定是垂直平分线等等.但是如果以“有大小和方向的量就是向量”作为向量的“定义”,怎能推导出例如加法的平行四边形法则?解决之道是把最必须的运算也归入定义之中.所以在现代数学中是作了很大的抽象化,先定义线性空间(或称向量空间,有人以为这是循环定义:没有定义向量怎能定义向量空间?这是一个误解,向量空间的“向量”二字其实是用作“形容词”),然后定义向量为线性空间的元素.这种处理方式人称公理化,但与欧氏几何的公理化颇有不同:欧氏空间的最基本元素点、直线、平面都是无定义的,但是其含意在人们心理上是没有疑问的.这种下定义给公理的方法不妨称为基于直觉、经验的定义与公理化.处理向量时,有向线段是很直观的,可是我们不能直接以它为基础来给出向量的定义,而是至少把它与实数(v x, v y,v z)对照以后,在高度抽象化的基础上才提出线性空间的公理以及向量的定义.对此不妨称为基于抽象化的公理化与定义(这个提法并非作者编造,至少大数学家外尔(H.Weyl)这样说过:他的说法是definition(axiomatization)by abstraction.这种给定义的方式在19世纪后半叶才出现,标志数学极大的进步.在中学教材中则是第一次出现,因此老师们也会感到生疏.现在的高中数学老师大多数学过大学的线性代数课程,线性空间是都学过的.但是大学里教线性空间是为了更高深的课程,没有想到有朝一日它会进入中学教材,当然也不会想到它与中学教学习惯的思维方式多么格格不入,我不主张要对中学生讲这些道理,但是在中学教师的培训中提到这一点大有好处.在有了线性空间的公理化定义以后,前面讲的几何描述和坐标描述就成为线性空间的两个模型;几何模型和坐标模型.这里又一次看到思想上的飞跃或颠倒;原来人们是由具体的起点放在原点的有向线段出发上升到抽象的线性空间定义;现在反过来了,抽象的线性空间成了出发点,具体的几何图形反而成为模型了.然而由此就会产生一个问题:线性空间还有没有其它模型?有,2维的线性空间还有一个极重要的模型:复数平面.但3维或更高维的则没有.关于复数,准备以后另写专文.由此对教学再提一点建议:不宜过分强调“向量就是有大小和方向的量”,而应该指出这只是向量的几何描述.应该把重点放在向量的线性构造上,它体现在现行教材中讲的向量的基本定理上.要特别强调,线性空间有一个特别的点:原点.描述一切向量时都要以它为起点.这对处理几何问题特别重要.2　向量怎样有了大小和方向当作者提议在中学教学中对向量作为有大小和方向的对象不宜过分强调,因为向量只是线性空间的元素时,有不少老师是反对的.因为他们认为这是过分抽象,而且无法从“生活情境”引入.对此谨作以下“申辩”.现在的中学课标开始把注意力引向数学在社会经济生活中的应用,而且有不少选修课(至少是教学内容)主要来自这些领域.线性规划是一个例子.可是在这些领域中,没有大小和方向2007年　第46卷　第4期 数学通报4的向量可谓比比皆是.现从“生活情境”中引进一个例子.如果你开一个书店,当然随时要盘点存货.一个书店卖1000种书是常事.于是你把这1000种书的存量列为一个“表”:a=(a1,a2,…,a1000).它确实是一个向量.甚至令某一个元例如a2=-10也是很好理解的:这部书太畅销,不但卖光了,还有10个顾客留下定单!它可以相加.例如你有两个连锁店,另一个店也有一个表:b=(b1,b2,…,b1000),你的总存货就是a+b=(a1+b1,a2+b2,…,a1000+b1000).也可以讨论13a:例如你开了一个新销售点,就把第一个点存货的13拨到新点去了,于是拨过去的就是1 3a=a13,a23,…,a10003.一个银行有10万存户,存户们的存款总额就可以表为一个10万维向量!你能说这些例子太抽象吗?这样的例子真可谓要多少有多少!这些向量大小、方向是什么?但是同时应该注意,并非每一个数表都是向量,例如我们身份证号码中有一部分是出生日期.例如×××…×19910324×××就表示这个持证人是1991年3月24日出生,不妨写为(1991,3,24).但它决非向量,因为对它不能进行向量的运算:2×(1991,3,24)= (3982,6,48)就毫无意义:3982年6月当然可能生下一个人,但怎么也不可能出生于6月48日!以上我们讲的是,由于科学的发展,甚至在中学教学中也会遇到没有大小、方向而只有线性结构的向量.因此,不能把话说得太死.许多人认为这是过分抽象化,是布尔巴基的流毒,其实是因为没有充分看到向量应用领域的扩大.过去(指20世纪50年代前),讲向量只用于几何、力学、物理.在那里当然向量就是有大小,有方向的对象.现在情况在变.但是就主要方面,就中学教学中经常遇到的情况而言,向量仍主要出现在几何,力学,物理问题中,因此还要讨论向量的大小与方向问题.但是,现在人们明白了,一个向量能否决定其大小和方向(方向可由夹角来表示),不仅是看它的大小和方向在物理上有无意义,更要看你定义出来的大小与方向是否适合数学上的某些要求.如果不适合则必出问题.这些要求是什么?就是线性空间必须适合某些要求,这些要求又是以一组公理形式出现的,具体说来即要求在线性空间中对其任意两个元素(即两个向量———我们不再使用箭头,以表示现在向量是一种抽象的东西)都有一个实数x・y,或记为(x,y),称为其数量积.它要适合某些要求:(ⅰ)λx・y=x・λy=λ(x・y),λ是实数;(ⅱ)x・(y+z)=x・y+x・z;(x+y)・z=x ・z+y・z;(ⅲ)x・y=y・x;(ⅳ)x・x≥0,而且当且仅当x=0(零向量)时为0,所以它可以写为x・x=‖x‖2,这样保证了它的非负性.‖x‖=0当且仅当x=0,‖x‖称为向量x的长度(或范数,或模).其实模就是绝对值的推广,所以,在中学教学中就不必使用记号|x|,而直接使用|x|好了,下面我们都是这样作的.(ⅴ)施瓦兹不等式|x・y|≤|x|・|y|(2)以上的叙述可能不准确、不完备,请参看任何一本线性代数教材中关于欧氏空间的论述.如果一个线性空间,能以某种方式定义适合以上要求的数量积,就称为欧氏空间,因为这时欧氏几何中的许多概念都可以在这里得到反映.总而言之,有了(ⅳ)就有了向量的大小,有了(ⅴ)就有了向量的交角,因此就有了方向.那么,线性空间中怎样才能找到适合以上要求的数量积?应该说,这样的数量积有无穷多种.在介绍最有用也是最常见的一种之前,我们先对一般的欧氏空间定义向量的正交性,然后在必要时对一个向量x乘以适当常数1/|x|,令y=x/|x|,则|y| =1,y有时称为把x规范化,任意非零向量都可以规范化,(但是零向量不行).在通常的线性空间中,例如(1)式的基本定理中的i,j,k互相就谈不上正交,因为正交并未定义,也谈不上|i|=|j|=|k|= 1,因为向量的范数现在还没有定义.在欧氏空间中有一种特别有用的基底,就是满足|i|=|j|=|k|=1i・j=j・k=k・i=0(3)适合条件(3)的基底称为规范正交基底.它就是笛卡儿坐标系.以后我们就专门使用欧氏空间一定有规范正交基底这个坐标系,因此图1就应该画成图2.这样,我们又回到一般教材中讲空间向量分解时所用的图.一般的中学生不知不觉地从图1走到图2,时常以为图2的直角坐标系(即笛卡儿坐标系)是自然而然就有的,殊不知这里面绕了这么大数学通报2007年　第46卷　第4期5　的圈子.我以为,对中学生就不能要求他们知道这么多,但是中学老师必须知道,只有线性结构就无法说明向量的大小和方向,还必需要有适合以上要求的数量积,即欧氏结构.正如线性空间有多种不同的模型一样,欧氏空间也至少有两种常用的模型,现设在欧氏空间中已经定义了一个笛卡儿坐标系,于是在其几何模型和坐标模型中,我们可以定义其数量积如下:211　几何模型对于向量a ,b 我们定义其数量积为a ・b =|a ||b |cos α(4)α是a ,b 的夹角.图3　向量的数量积注意,我们这里讲的是3维空间,但作为夹角是一个平面几何概念.事实上,除非a ,b 共线,它们必决定一个平面π,而(4)式在这个平面中即有意义.尽管π不是坐标平面,可是平面欧氏几何的一切结果在π上均成立.这是一个在立体几何课程中时时刻刻都用得上的思想,但如果不提一下,人们就会淡忘了,更不会想到,哪怕a ,b 是更高维空间的向量,它们仍旧构成一个普普通通的平面,在其上平面欧氏几何总是适用的.当a ,b 共线时,即存在一个实数c 使a =c b 或b=c a ,c 可正可负甚至可以为0,则a ,b 不能决定一个平面π,但我们仍用(4)来定义a ・b .如果c ≠0;若c =0,则定义a ・b =0.我们说(4)式定义了数量积,那么它是否适合上面的条件(i )—(v ).其它都好办,特别是施瓦兹不等式现在成了不言而喻的.但是其代数运算法则(i )—(iii ),特别是分配律就难办了,人教社的教材是用几何方法证明的,但是对于3维向量怎样讲投影呢?甚至在平面情况也有极大困难(理由见下文).所以教材上说请同学们自己思考,是要求太高了.实际上只能是由老师直接宣布结果,如果有少数优秀学生问起,再引导他们深入下去.212　坐标模型设有两个向量a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则定义a ・b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3(5)现在证明它适合(i )—(iii )就十分容易了.这是坐标模型最大的好处,(iv )也容易,因为在笛卡儿坐标系下,由勾股定理,直接有|a |2=a 21+a 22+a 23.(v )式是一个极重要的不等式,我们不但应该知道其代数证明,而且应该知道其几何意义.知道它其实就是余弦定理.课标是在选修课的不等式选讲中提到它而且称为不等式,也应说明代数证明如下:任取实数λ,则由向量范数的定义有0≤|a +λb |2=(a +λb )・(a +λb )=|a |2+2λa ・b +λ2|b |2=Aλ2+2B λ+C,A =|b |2,B =a ・b ,C =|a |2(6)(6)式是λ的二次三项式,它恒取非负值的充分必要条件是B 2≤AC ,双方开方即得.几何意义下面再说.现在余下的问题是要证明(4)式与(5)式是等价的.有多种方法证明这一点,现在需要加以比较.一种方法是得用“差角公式”cos (α-β)=cos αcos β+sin αsinβ(7)如果两个向量a ,b 之辐角分别为α,β,则其“夹角”为α-β(还可能有符号问题),则由上式有|a ||b |cos θ=|a |cos α・|b |cos β+|a |sin α・|b |sinβ=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3在“课标”中是建议利用数量积来证明(7)式,但为此就需要先证明数量积的两种定义一致,这又如何证明?现在则反过来,利用(7)式证明两种定义的一致,则“差角公式”又怎样证?我们来分析一下现在中学教材证明例如cos (α+β)公式的方法.由图4立即就知道证法了,详细的说明可以在任何一本中学教材上找到,所以不重复.但是实际上这个证明只适合于α,β与α+β均为锐角的情况.一般情况如何?许多中学教材就说它在其它情况下也正确,或者“可以仿此类推”.这还是比较负责任的,实际上我怀疑谁真正考查过“其它情况”,甚至其它情况有多少种都不易说清.而且如果这样做,就会至少遇到两个问题:①线段的“长”现在规定非负,似乎应赋以符号,否则这些公式的加减号要根据不同情况作不同选取.这里有没有一般原则?2007年　第46卷　第4期 数学通报图4　现行教材中和角公式的证明②中学里讲这个公式时也会遇到投影或射影的说法,但和我们现在讲的又不尽相同,追究下去要问:向量x 在向量y 上的投影(现在只讲正交投影,其实还有非正交投影)是向量还是数量?如果说是一个几何线段,则它应不应该有符号?我们说式a ・b =|a |cos α・|b |中|a |cos α是a 在b 上的投影,则它是有符号的数了,但是在讲线性变换(课标系列4,矩阵与变换)时,又说投影是矩阵,将a 投影的结果应是某矩阵A 作用于a ,而得到A a .所以投影又应为一向量.所以应该把b 方向的单位向量l 取出来,而称|a |cos α・l 为a 在b 上的投影.那么:数量积a ・b=(a 在b 上的投影)(b 的长度)这个正确说法似乎又要修改.总之给人一个印象就是越说越糊涂.很有必要在中学教材涉及的范围内给一个说法:既要在数学上站得住脚,又要便于教学,这是后话.造成这种情况的原因在于,我们需要从一个新的视角来看待三角函数,向量正是一个很好的途径,我们将在另一篇文章中介绍对三角函数的一种讲法,而完全可以避免以上的尴尬情况.上述讲法另一个缺点是,它很难用于3维向量.我以为讲(4)与(5)的等价性的更为适合的方法是用余弦定理.在解释何以这样做更为适合之前,先再讲一次具体的作法.这里请大家特别注意,我们是就3维向量来讲的,但是对平面情况完全适用.图5　在3维空间中,余弦定理仍是平面问题首先,由(4)到(5)考虑两个向量(如果它们共线,或者一个向量是零向量,等价性是不必证明的).于是有三个点O (o 1,o 2,o 3),A (a 1,a 2,a 3),B (b 1,b 2,b 3).我们把它们的三维坐标都写出来了.它们虽然是3维向量,但是这个三角形位于一个平面π(图5)上.欧氏几何的一切结果在这里都有效.它的任意两点的距离,无论是作为3维空间还是2维平面的点的距离都是相同的.因此|AB |2=(a 1-b 1)2+(a 2-b 2)2+(a 3-b 3)2=(a 21+a 22+a 23)-2(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)+(b 21+b 22+b 23)(8)但由余弦定理,|AB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA ||OB |cosα(9)比较二式即得|OA ||OB |cosα=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3按几何描述在左方就是数量积公式a ・b 即(4)式.代入上式即得(5).再证明由(5)可以得(4).我们仍由(8)出发.但由数量积的性质(ⅰ)-(ⅴ),(8)式可另写为|OA -OB |2=(OA -OB )・(OA -OB )=|OA |2+|OB |2-2OA ・OB(10)但由施瓦兹不等式|-2OA ・OB |≤2|OA |・|OB |,所以一定能找到实数λ:|λ|≤1使OA ・OB =λ|OA |・|OB |但在[0,π]在中一定有唯一的角θ使λ=cos θ,代入上式即得OA ・OB =|OA |・|OB |cosθ但这就是(4)式.不放心的读者可能会问,这样算出来的θ是否恰好是图5中的α?问这样的问题反映发问的读者对代数计算的结果在几何上的可靠性还有疑虑.,,|OA -OB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA |・|OB |cosα,这里0≤α≤π.与(10)式以及OA ・OB =|OA |・|OB |cos θ比较即得θ=α.这一段由(5)到(4)的证明特别重要之处在于,它应用了施瓦兹不等式.这说明施瓦兹不等式就是余弦定理(后者又是勾股定理的推广,所以称余弦定理为推广的勾股定理是完全正确的).许多人以为只要对每一个向量a 都规定一个非负数‖a ‖(称为范数或模),这个向量空间就成了欧氏空间.这是不行的,哪怕再规定范数适合“三角形不等式”‖a +b ‖≤‖a ‖+‖b ‖也不行.因为这时还没有办法定义“角”.而为了定义角,就需要有适合(i )—(v )的五条性质,其中(ⅴ)最值得注意,它就是余弦定理———推广的勾股定理.(4)与(5)的等价性就是说,用代数方法作出的欧氏空间(下转第14页)。