1.5 测量结果的不确定度估算1.5.1 不确定度的概念一般来说，真值是无法测得的，因此误差也就无法得到。
我们只能通过一定的方法对测量误差进行估计，这就需要引入不确定度的概念。
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是对被测量的真值所处的量值范围的评定。
我们在表示完整的测量结果时，除给出被测量x 0的量值（一般用被测量的算术平均值来表示），还要同时标出测量的总不确定度∆，写成 0x x ±∆= (P ρ=)（1-11） 式中P 为置信概率，式（1-11）的含义是：区间(0x -∆,0x +∆)内包含被测量x 的真值的可能性是P 。
为了直观地评定测量结果，也常采用相对不确定度的概念。
用U r 表示相对不确定度，则有r 0100%U x ∆=⨯（1-12） 根据估计方法的不同，总不确定度可分为两类分量，一类是可以通过多次重复测量用统计学方法估算出的A 类分量∆A ，另一类是用非统计方法估算出的B 类分量∆B 。
将两类分量按方和根的方法合成，就得到测量结果的总不确定度：Δ（1-13）1.5.2 A 类不确定度分量的估算A 类不确定度分量是指可以用统计学方法估算的分量，一般指随机误差。
具体估算的方法如下：根据误差理论，当重复测量次数足够多时，可求得置信概率为0.95的A 类不确定度分量A 1.96x s ∆= （1-14）式中x s 是算术平均值的标准偏差。
但当重复测量次数较少时，随机误差不再符合正态分布。
这样，需对式（1-14）做一个修正。
即A x tS ∆=（1-15）式中t 是由测量次数决定的修正系数，它的取值与测量次数和置信概率有关。
置信概率为0.95时，t 与不同测量次数n 之间的关系如表1-1所示。
表1-1 t 与不同测量次数n 的对应关系根据重复测量的次数，从表1-1中查出相应的t 值，就可得到修正后的置信概率为0.95的A 类不确定度分量∆A 。
1.5.3 B类不确定度分量的估算1．仪器误差测量仪器和量具本身总是存在一定误差，我们习惯上称之为仪器误差，用符号∆仪表示。
它是指仪器在规定条件下使用时，所允许的误差限值。
仪器误差是一个统称，对于具体的各类仪器和量具具有不同的表示方式。
例如，游标卡尺和螺旋测微计的仪器误差用示值误差表示。
国家标准规定，量程为0～300mm以下的游标卡尺，其示值误差在数值上等于该尺的最小分度值。
螺旋测微计分零级、一级和二级3种精度级别，通常实验室使用的为一级螺旋测微计，其示值误差随量程而异。
量程为0～25mm 的一级螺旋测微计，示值误差为±0.004mm。
对物理天平而言，仪器误差用指示值变动性误差来表示天平称衡结果的可靠程度，这是由于天平调节、操作、温差、气流以及振动等原因，致使重复称衡时各次平衡位置产生差异。
按规定，合格天平的示值变动性误差不应大于该天平的最小分度值。
对于实验室常用的WL-1型物理天平，其误差限值一般取为0.05g。
电表及电阻箱的仪器误差用准确度等级K表示。
在规定条件下使用电表测量，其示值的误差限为电表量程与准确度等级百分数（即K%）的乘积。
可见，电表的仪器误差大小由电表准确度等级和电表量程二者决定。
Δ仪可在仪器出厂说明书或仪器标牌上查到，对于精度较低的仪器，Δ仪可取为其最小分度值的一半，如米尺的示值误差为0.5mm。
在工业和商业用途上，仪器误差的置信概率一般为0.95。
2．B类不确定度分量不能用统计学方法估算的分量为B类不确定度分量，一般指系统误差。
若不特别说明，则ΔΔB C=仪（1-16）C称为置信因子，置信概率取0.95时，C=1.05。
1.5.4 直接测量量的不确定度估算及测量结果表示1．单次直接测量在实际测量过程中，有的被测量是随时间变化着的，我们无法对其进行重复测量，只能进行单次测量。
还有些被测量，对它们的测量精度要求不高，只要进行单次测量就可以了。
在单次测量中，用单次测量值x测作为被测量的最佳估计值。
测量值的不确定度与所用测量仪器的精度、测量者的估读能力及测量条件等很多因素有关，因此它的合理估计是比较复杂的。
在一般情况下，对随机误差很小的测量，可以只估计不确定度的B类分量，用仪器误差△仪作为x测的总不确定度，测量结果表示为Δx x=±测仪（1-17）有的测量随机误差可能比较大，此时可以估计一个误差限来作为单次测量的不确定度∆。
例如，用0.1s分度的秒表计时，由于人的感官灵敏度的限制与技术上的不熟练，常常造成“启动”和“停止”秒表所用的时间超过0.1s ，这必然使测量误差限超过秒表的仪器误差限。
这时可依据实际情况来估计误差限，如可取∆ = 0.2s 。
又如，用钢卷尺测量较长的距离，不可能保证尺子拉直拉平，则可依实际情况取∆ = 5mm 或更大。
总之要根据测量的不同情况以及观测者实验技巧的高低来对单次测量的总不确定度做出估计。
2．多次直接测量对多次直接测量的数据12,,n x x x ⋅⋅⋅进行处理的一般步骤是：① 计算被测量的算术平均值1/ni i x x n ==∑，把x 作为被测量的最佳估计值。
② 求出各测量值的残差i i v x x =-③用贝塞尔公式求出测量列的标准偏差S =④ 审查测量数据，如发现有异常数据，应予以舍弃。
舍弃异常数据后，再重复步骤①②③④，直至完全剔除异常数据。
⑤求出算术平均值的标准偏差x S =1-1求出总不确定度的A 类分量A Δx tS =。
⑥求出总不确定度Δ⑦ 表示出最后测量结果ΔΔ,100%r x x U x=±=⨯ 注：利用计算器的统计计算功能，将多次测量结果输入后，可直接求得x 及S 。
【例1-1】 有一组以cm 为单位的长度测量数据为2.20，2.25，2.30，2.15，2.10，2.15，2.25，2.10，2.20，2.20，2.10，2.15，2.25，2.20，2.20，2.15，2.25，2.20，2.20，3.50，据“3σ”准则判断其中是否有异常数据需剔除。
解：因为测量次数10n >，所以可以用“3σ”准则剔除异常数据。
201 2.26cm 20i i xx ===∑ 根据贝塞尔公式，用标准偏差S 代替标准误差σ：0.3cm30.9cmS S ==根据“3σ”准则，因为20 1.24cm 3S υ=>，所以3.50应舍去。
舍去3.50后，再重新计算测量数据，得 1912.19cm 19ii x x ===∑0.06cm30.18cmS S ==在这19个数据中，没有一个数据的残差大于此3S ，所以，根据准则“3σ”，这19个数据中没有异常数据。
【例1-2】 用量程为0～25mm 的一级螺旋测微计（∆仪=0.004mm ）对一铁板的厚度进行了8次重复测量，以mm为单位，测量数据为：3.784，3.779，3.786，3.781，3.778，3.782，3.780，3.778，同时读得螺旋测微计的零位为 + 0.004mm，请给出完整的测量结果。
解：可求得3.781mmL=0.0029mmS=没有一个数据的残差大于3S，所以，根据准则“3σ”，这8个数据中没有异常数据，不用剔除。
但考虑到零位修正 3.7810.004 3.777(mm)L=-=0.0011mmLS=查表1-1可知，8n=时， 2.36t=，计算得：A类不确定度分量Δ0.0025mmA LtS==B类不确定度分量Δ0.004Δmm0.0038mm1.05B C===仪总不确定度Δ0.005mmL==测量结果为()3.7770.005mm100%0.13%LLrL LUL=±∆=±∆=⨯=1.5.5 间接测量量的不确定度估算及测量结果表示在很多实验中，我们进行的测量都是间接测量。
因为间接测量量是各直接测量量的函数，所以直接测量量的误差必定会给间接测量量带来误差，这被称为误差的传递。
这样一来，直接测量结果的不确定度就必然会影响到间接测量结果，这种影响的大小可以由相应的数学公式估算出来。
1．间接测量的不确定度合成公式设间接测量量y是各自相互独立的直接测量量12,,mx x x⋅⋅⋅的函数，其函数形式为()12,,my f x x x=⋅⋅⋅（1-18）设各直接测量量12,,mx x x⋅⋅⋅的测量结果分别为1122,,m mx x x x x x±∆±∆⋅⋅⋅±∆，则间接测量量y的最佳估计值为()12,,my f x x x=⋅⋅⋅（1-19）由于不确定度都是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式基本相同。
不同之处是：①要用不确定度ix∆等替代微分d x i等；②要考虑到不确定度合成的统计性质。
具体做法如下。
首先对函数式（1-18）求全微分：1212d d d d m mf f f y x x x x x x ∂∂∂=++⋅⋅⋅+∂∂∂（1-20）然后用不确定度1212,,,d d d d m m y x x x y x x x ∆∆∆⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅替代,,，,并将等式右端进行方和根合成，得到间接测量量的不确定度方和根合成公式：y ∆=（1-21）对于积商形式的函数，为计算方便，可先对函数式（1-18）取对数，得()12m ln ln ,,y f x x x =⋅⋅⋅（1-22）再对上式求全微分：1212d d d d mm x x x y f f f y x f x f x f∂∂∂=+⋅⋅⋅+∂∂∂ （1-23）用不确定度1212,,,d d d d m m y x x x y x x x ∆∆∆⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅替代，，，，后，再进行方和根合成，得到的是间接测量量的相对不确定度的方和根合成公式：yy ∆（1-24）注意：用式（1-21）～式（1-24）估算间接测量量的不确定度时，应使式中各直接测量量的不确定度具有相同的置信概率。
作粗略的不确定度估算时，也可采用间接测量量的不确定度算术合成公式： 1212m mf f f y x x x x x x ∂∂∂∆=∆+∆+⋅⋅⋅+∆∂∂∂ （1-25）1212m m x x x y f f f y x f x f x f∆∆∆∆∂∂∂=+⋅⋅⋅+∂∂∂ （1-26）用算术合成公式估算出的间接测量量的不确定度偏大。
【例1-3】 求函数式（1）N A B C =+-和（2）ABN C=的不确定度传递公式，式中A 、B 、C 为变量。
解： （1）对函数式N A B C =+-求全微分得 d d d d N A B C =+-用不确定度代替微分，再方和根合成便得到不确定度传递公式：N ∆（2）因为函数式ABN C=是积商的形式，所以先对其取对数，可得ln ln ln ln N A B C =+-再求全微分：d d d d N A B CN A B C=+-用不确定度代替微分，再方和根合成便得到相对不确定度传递公式：N N ∆= 2．间接测量的数据处理步骤① 按照直接测量量的数据处理程序求出各直接测量量的结果：121122,,m m m x x x x x x x x x =±∆=±∆⋅⋅⋅=±∆② 将各直接测量量的最佳估计值代人函数关系式中，求得间接测量量的最佳估计值：()12,,m y f x x x =⋅⋅⋅ ③ 求出间接测量不确定度的方和根合成公式：y ∆=m yf y x ⎛∆∆∂++ ∂⎝ ④ 求出间接测量值的不确定度∆⑤ 表示出最后测量结果100%r yy y y U y∆=±∆=⨯， 【例1-4】 已测得金属环的外径1 2.8800.004cm D =±，内径2 3.6000.004cmD =±，高度2.5750.004cm h =±，求体积的测量结果。