根据定理二 d
b c
b d
c
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。
a
10
m
b b
m a
n c
c n
有多少解？ 唯一解！
⒉ 平面上取点 面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位 置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
直角定理
2.4 平面的投影
一、平面的表示法 c
c
c
c
c
●
a ●
● a ●
● a ●
●
d
a ●
●
● a ● ●b
●b b
● a
●
●b b
● a
●
●b b
● a
●
●b
b ●
●d
a ●
b ● a ●
●c
●c
● c
●c
●c
不在同一直线上的 直线及线外一点 三个点
两平行直线
两相交直线
平面图 形
二、平面的投影特性 ⒈ 平面对一个投影面的投影特性
另外两个投影面上的投影有类似性。
⒉ 投影面平行面 积聚性
a
b
c a c
b
积聚性
Байду номын сангаас
a
实形性 投影特性：
c b
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
水平面
⒊ 一般位置平面
b
b
c
c
a a
b
a
c
投影特性： 三个投影都类似。
三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线
c(d) ●
d c
d c
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，
② 另外两个投影， 反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
侧垂线
e
f
e(f) ●
e
f
投影有积聚性。
⑶ 一般位置直线
b
b
a
a
a b
投影特性：
三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的 实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影 轴都倾斜。
二、直线与点的相对位置
b
②
①
k●
c
a
a
b d
●k c
a ●b
k c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
b
b 解法二
k a
c
a
c
d
d
d
d
c
c
a
a
k
b
b
2.5 直线与平面及两平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题
包 括
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉） 直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。 证明：
B
A b
a
b a
C
c H c
设 直角边BC//H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面
又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面
因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
先作正面投影
⒊ 两直线交叉
a 1(2 )
3 ●
●
●4
c
c a
●2 ●
● 3(4 ) 1
d
两为直投什线影么相特？交性吗：？
b ★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一 个点的投影规律。
b
d
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的 重影点。
★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其 可帮助判断两直线的空间位置。
a● b
●
●a ● b
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A●
●B
M●
A●
B●
● a≡b≡m
●b a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
a●
b● ●B
α A●
●b a●
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
投影面平行线 统称特殊位置直线 投影面垂直线
⒈ 直线与平面平行
直线与平面平行 平面与平面平行
定理：
若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a
b c m ●
b
a
●m
c
有无数解 n
n
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b
c m
n
a
●
c
a
● m
n
b
正平线 唯一解
⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线
上一对重影点的投影。
五、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。
要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。
我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置
b n
空间及投影分析
k
1(2) ●
a
●
m
●
m a
判别方法：
V
◆ 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比
a
例。即：
AC/CB=ac/cb= ac / cb
b
c
B
C
A
c a
b H
◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点 必不在此直线上。
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
b c
a
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
正垂面 侧垂面
铅垂面
正平面 侧平面 水平面
⒈ 投影面垂直面
类为似什性么？ 是什么位置的平面？
a
积聚性
γ a 投影特性：
b
b
类似性
c c
βc b
a 铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两 投影面夹角的大小。
一、点的投影规律 ① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
a ● X ax a●
Z
az
●a
O
ay Y
Y ay
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行
b .
a c
直线在H面上的投影互相垂 直
例：过C点作直线与AB垂直相交。 a . d
c●
b
c●
a
d
b
AB为正平线, 正面投影反映直 角。
小结
重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。
★定比定理。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
⒉ 两平面平行
a ① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平 面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
a
b c d
c d
b b d
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必相互平行。
a
c
e
ac
d b
e
e f
f e
f h
h f
二、相交问题
⒈ 直线与平面相交
直线与平面相交 平面与平面相交
求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
⒉ 两直线相交 V c a A a
判别方法：
b k
d
C
B
KD
d
k c
b H
交点是两直线的共有 点
c
k
a
b d
a
c
k
d b
若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
k c●
d b
V X
Z
o
W
H Y
三个投影面互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
a
点A的正面投影
a
点A的水平投影
a
点A的侧面投影
V a●
A ● X
Z
● a
o
W
a● H Y
空间点用大写字母表示，点的投影用小写 字母表示。
投影面展开
V a ●
X
ax
a● H
Z az
W ●a
O