(2) 反控制方法: 根据全局有界性和正的李氏指数设计混沌系统
(3) 根据Smale马蹄映射、Shilnikov定理等设计混沌系统, 如异宿环的设计等
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3) 混沌应用:
利用混沌具有稠密不稳定周期轨、不可预测性、对参数和初始条件敏感性等
(1) 混沌广义控制(包括混沌控制、反控制、混沌同步)
(2) 混沌电路分析与设计
(1) 定性分析方法: 计算李氏指数、分岔图、吸引子相图等
(2) 机理分析方法: 分析是否存在马蹄映射、同宿轨道和异宿环等
(3) 回归排斥子法: 分析系统中是否存在回归排斥子?
2) 混沌系统的设计:
根据某种理论或方法, 设计出一个混沌系统, 并证明它是混沌的?
混沌研究
设计方法主要包括 : (1) 数值试验法: 参数错试、数值仿真、计算李氏指数三步曲设计混沌系统
图 3 区间 [−2π , 2π ] 内任意初始条件时 x(t) 随时间的变化趋势及终态
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点，其中空心圆点为不稳定平衡点，实心圆点为稳定平衡点。
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6. 定性分析的一个典型实例
x
−2π −π
0π
2π x
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图 1 x = sin x 的流形与平衡点
根据图 1，可对于上述提出的两个问题得出明确的解答结果如下： 1）在 x0 = π / 4 处，首先是越来越快地向右到达 x = π / 2 ，当到达 x = π / 2 后，再越来越慢地趋于稳定平衡点 x = π ，x(t) 随时间变化的趋势如图 2 所示。 2）对任意初始条件 x0 ，当 t → ∞ 时 x(t) 的行为也有类似结果，最终趋向 离它最近的稳定平衡点，在区间 [−2π , 2π ] 内任意初始条件下 x(t) 随时间的变 化趋势如图 3 所示。 上述实例虽然有点特殊，但说明了定性分析方法的特点及优越性。今后 我们将看到，定性分析法是求解混沌问题的一种很实用的方法，应该掌握。
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4. 机理研究方法
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1) Smale马蹄映射:
(1) 混沌系统分析: 对于给定系统, 分析是否存在马蹄映射?
关键是要能找到一个不变集, 并在该集上有拉伸折叠变换
(2) 混沌系统设计: 根据马蹄映射的方法设计出混沌系统?
2) Shilnikov定理(Shilnikov不等式、同宿轨道和异宿环):
和设计混沌系统。
1) 离散时间系统的反控制: (1) Chen - Lai算法 (2) Wang - Chen算法 反控制方法 2) 连续时间系统的反控制: (1) 建立设计准则和判定定理 (2) 控制器设计 (3) 平衡点设计 (4) 通过设计控制器和平衡点, 使系统全局有界和正李氏指数
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6. 定性分析的一个典型实例
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定性研究的基础是微分动力系统的定性理论，主要分析平衡点 的类型及其稳定性、平衡点的分岔行为等。此外，还包括计算李氏 指数、分岔图、混沌吸引子的相图等，这些也可以认为属于定性分 析的范畴或者说属于工程层面的分析方法，但不属于严格的混沌机 理研究范畴。尽管定性分析方法不能得出严格的解析解，但有时却 能把握住整个系统的全局，目前在混沌问题的研究中仍不失为一种 主要手段与方法。一方面，目前情况下绝大多数非线性系统很难获 得解析解，并且需要有很高的数学技巧与先验知识。另一方面，即 使是能获得严格解析解，但有时结果的物理意义并不明晰，采用定 性分析法却能较好地把握住全局。
(3) 保密通信和信息安全
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(4) 图像和视频加密等
1. 混沌研究与方法
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1) 定量研究方法 2) 定性研究方法 混沌研究方法 3) 机理研究方法 4) 反控制研究方法
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2. 定量研究方法
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设 t = 0 时的初始条件为 x = x0 ，得 C = ln | csc x0 + cot x0 | 。最 后得其严格的解析解为
t = ln csc x0 + cot x0 csc x + cot x
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6. 定性分析的一个典型实例
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虽然获得了严格的解析解，但解的物理意义并不明晰，尤其是 不能把握住全局。例如，根据解的结果，可提出以下两个问题：
在定性分析中，可通过对平衡点稳定性的分析来掌握系统 的终态行为，平衡点指的是系统的状态不随时间变化，即
=x f= (x) 0 通过求解方程 f (x) = 0 ，可得系统的平衡点之值。
根据定性分析法，得 x = sin x 的流形如图 1 所示。图中 =x s= in x 0 的解（对应空心圆点和实心圆点）便是系统的平衡
定量研究方法指的是求出混沌系统的严格解 析解。由于混沌系统是非线性系统，要想求出其严 格的解析解，在目前情况下几乎不可能。因此，通 常只能通过用 MATLAB 编程，通过数值模拟的方 法求得混沌吸引子的相图。这就是我们经常在许多 文献中只看到混沌吸引子的相图而没有看到解析 解的原因。
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3. 定性研究方法
直截了当地回答这两个问题并非易事，但如果采用定性分析方 法却能较好地回答这两个问题。
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6. 定性分析的一个典型实例
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了解和掌握动力系统的终态行为是研究动力系统的重要 方法。对于一维系= 统 x f (x), x ∈ R 来说，其终态行为只有收 敛和发散两种情况。而对于二维系= 统 x f (x), x ∈ R2 来说，其 终态行为有收敛、发散和周期三种情况。而对于三维以上系统 来说，除收敛、发散和周期三种行为外，可能有混沌行为。
(1) 混沌系统分析: 对于给定系统, 分析是否存在同宿轨道或异宿环?
(2) 混沌系统设计: 根据Shilnikov定理设计具有同宿轨道或异宿环的混沌系统?
3) Melnikov方法:
主要用于非自治混沌系统的分析与设计
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5. 反控制方法
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根据混沌系统的全局有界性和正的李氏指数（拉伸和折叠）来分析
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6. 定性分析的一个典型实例
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x(t) π
π 4
0
t
图 2 初始条件为 x0 = π / 4 时 x(t) 随时间的变化趋势及终态
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6. 定性分析的一个典型实例
x(t) 2π
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π
0 t
−π
−2π
1）假定 x0 = π / 4 ，描述解的结果 x(t) 对于所有的 t > 0 时 的定性特征是什么？当 t → ∞ 时的稳态是什么？
2）对于任意一个初始条件 x0 ，请说明 x(t) 当 t → ∞ 时的 行为是什么？
可以看出，如果想要从解 t = ln csc x0 + cot x0 的结果中很 csc x + cot x
混沌理论与应用
一. 混沌的研究方法
自动化学院 禹思敏
2012.10
1. 混沌研究与方法
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混沌研究包括混沌系统的分析、混沌系统的设计、混沌应用三大部分，概括如下：
1) 混沌系统的分析:
对于一个给定的动力系统, 分析该系统是否为真正的混沌系统?
分析方法主要包括 :
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考虑以下非线性微分方程 x = sin x
注意到这个方程可通过变量分离法获得严格的解析解（注意 到这样的例子是凤毛麟角）。根据上式，得
dt = dx sin x
对上式积分，得
t = ∫ csc xdt = −ln | csc x + cot x | +C