初中数学反证法
高密市立新中学 楚晓英
知识讲解
对于一个几何命题，当用直接证法比较 困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种 间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立， 而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推 出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种 可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对 于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都 是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单 介绍。
这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。
故三角形中至少有一个角不大于60°。
例题
• 例2：已知：AB、CD是⊙O内非直径的两 弦（如图1），求证AB与CD不能互相平 分。
证明：假设AB与CD互相平分于点M、则 由已知条件AB、CD均非⊙O直径， 可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线 垂直于底边） 同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条 直线AB、CD都垂直于OM 这与过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。
反证法的概念：
• 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发， 引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证 法。
反证法的基本思路
• 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件 下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论 来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成 立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾， 或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与 日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度 进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
• 于是M、P、N三点不共线。
• 从而MP＋PN＞MN ②
• 由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件
MN＝（AD＋BC）
相矛盾，
故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。
练习：
1.在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°. • 求证；a2＋b2≠c2. 2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角. 3.求证：若a≠0,则ax=b，有唯一解。 4.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，
且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC
• 练习4答案：
• 证明：假设AD BC，连结BD，并设P是BD的中 点，再连结MP、PN。
• 在△ABD中
• ∵BM＝MA，BP＝PD
• ∴MP AD，同理可证PN BC
从
而MP＋PN＝（AD＋BC） ①
这时，BD的中点不在MN上
• 若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与 假设AD BC矛盾，
反证法的一般步骤
•
假设命题的结论不成立；
•
从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
•
由矛盾判定假设不正三步曲。
例题：
• 1.求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
• 证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°
•
则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°