第五章习题第一部分01-151. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间．[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ⊆ N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ⊆ N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间．2. 设B 为线性空间X 的子集，证明conv(B ) = {∑=ni i i x a 1| a i ≥ 0,∑=ni ia1= 1, x i ∈B , n 为自然数}．[证明] 设A = {∑=ni i i x a 1| a i ≥ 0,∑=ni ia1= 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ⊆ F ，故A 为包含B 的最小凸集．3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=mn n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，所以E 中任意有限个元素线性无关，故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。
4. 在2中对任意的x = (x 1, x 2)∈2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形．[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。
证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ∀x , y ∈cl(L )，∀a ∈，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间．[注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包．6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0∉ M ．证明：L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈}也是X 的闭线性子空间．[证明] 若a , b ∈，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ，则(a - b ) x 0 = z - y ∈ M ，得到a = b ，y = z ；即L 中元素的表示是唯一的．若L 中的序列{ a n x 0 + y n }收敛于X 中某点z ，则序列{ a n x 0 + y n }为有界序列． 由于M 闭，x 0∉ M ，故存在∃r > 0，使得|| x 0 - y || ≥ r ，∀y ∈ M ．则当a n ≠ 0时有| a n | = | a n | · r · (1/r ) ≤ | a n | · || x 0 + y n /a n || · (1/ r ) = || a n x 0 + y n || · (1/r )， 所以数列{ a n }有界，故存在{ a n }的子列{ a n (k ) }使得a n (k ) a ∈． 这时y n (k ) = (a n x 0 + y n ) - a n x 0 z - a x 0 ∈ M ．所以z ∈L ，所以L 闭． [注] 在此题的证明过程中，并未用到“X 为完备的”这一条件．7. 证明：a. 在2中，|| ◦ ||1，|| ◦ ||2与|| ◦ ||∞都是等价范数；b. || ◦ ||1与|| ◦ ||2是等价范数的充要条件是：X 中任意序列在两个范数下有相同的收敛性． [证明] a. 显然|| x ||∞ ≤ || x ||2 ≤ || x ||1 ≤ 2|| x ||∞，所以|| ◦ ||1，|| ◦ ||2与|| ◦ ||∞都是等价范数．b. 必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} ≥ 0． 若inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = 0，则存在X 中序列{ x n }，使得|| x n ||1 = 1，|| x n ||2 0． 而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而|| x n ||1 0． 这矛盾说明inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = a > 0．对∀x ∈X ，当x ≠ 0时，|| (x /|| x ||1) ||1 = 1，所以|| (x /|| x ||1) ||2 ≥ a ． 故∀x ∈X 有a || x ||1 ≤ || x ||2．类似地可以证明存在b > 0使得b || x ||2 ≤ || x ||1，∀x ∈X ．所以两个范数等价．8. 证明：Banach 空间m 不是可分的．[证明见教科书p187, 例3.5]9. 证明：c 是可分的Banach 空间．[证明见第4章习题16]10. 设X , Y 为线性赋范空间，T ∈B (X , Y )．证明T 的零空间N (T ) = { x ∈X | Tx = 0 }是X 的闭线性子空间．[证明] 显然N (T ) = { x ∈X | Tx = 0 }是X 的线性子空间．对∀x ∈N (T )c ，Tx ≠ 0，由于T 是连续的，存在x 的邻域U 使得∀u ∈U 有Tu ≠ 0，从而U ⊆ N (T )c ．故N (T )c 是开集，N (T )是X 的闭子空间．11. 设无穷矩阵( a i j )，( i , j = 1, 2, ...)满足∞<∑∞=1||sup j ij ia ，定义算子T : m m 如下：y = Tx ，∑∞==1j j ij i a ξη，其中x = (ξ i ), y = (η i )∈ m ．证明：T 是有界线性算子，并且∑∞==1||sup ||||j ij ia T 。
[证明] 因|)|(sup )||sup ()||sup ||(sup ||sup ||||111j jj ij ij j jij ij j ij ia a a Tx ξξξ⋅=⋅≤=∑∑∑∞=∞=∞=，及T 是线性的，所以T 为有界线性算子， ∑∞=≤1||sup ||||j ij ia T 。
对任意的实数∑∞=<1||sup j ij ia u ，存在自然数K 使得u a j Kj >∑∞=1||。
取m x i K ∈=)(ξ，使得其第j 个坐标)sgn(Kj j a =ξ，则1||||=K x ，且∑∞=≥1||||||j Kj K a Tx 。
所以u a T j Kj >≥∑∞=1||||||，故有∑∞=≥1||sup ||||j ij ia T ，从而∑∞==1||sup ||||j ij ia T 。
12. 设22:l l S n →满足对221),,,,(l x n ∈=∀ ξξξ有),,()(21 ++=n n n x S ξξ。
证明n S 是有界线性算子，1||||=n S 。
[证明] 显然n S 是线性算子。
因为212122||||||||||)(||x x S k k n k kn =≤=∑∑∞=∞+=ξξ，2l x ∈∀，所以||||||)(||x x S n ≤，2l x ∈∀，可见n S 是有界线性算子，且1||||≤n S 。
令),0,1,0,0,0( =n x （仅第)1(+n 个坐标不为零），则2l x n ∈，1||||=n x ，),0,1()( =n n x S ，1||)(||=n n x S 。
所以1||)(||||)(||sup ||||1||||=≥==n n n x n x S x S S 。
13. 证明],[b a C 上的泛函⎰=ba dt t x x f )()(是有界线性泛函，且ab f -=||||。
[证明] 显然f 是线性泛函。
对],[b a C x ∈∀有||||)(|)(|max )(|)(||)(||)(|],[x a b t x a b dt t x dt t x x f b a t bab a-=-≤≤=∈⎰⎰，所以f 是有界线性泛函，且a b f -≤||||。
进一步，取],[0b a C x ∈使得1)(0≡t x ，则1||||0=x 。
得到a b x f x f f x -=≥==|)(||)(|sup ||||01||||。
14. 取定],[0b a t ∈，在],[b a C 上定义泛函1f 如下：)()(01t x x f =。
证明1f 是有界线性泛函，1||||1=f 。
[证明]显然1f 是线性泛函，由|||||)(|max |)(||)(|],[01x t x t x x f b a t =≤=∈，知1f 有界1||||1≤f 。
取],[0b a C x ∈使1)(0≡t x ，则1||||0=x ，得1|)(||)(||)(|sup ||||000111||||1==≥==t x x f x f f x 。
15. 证明：∞=l l *1)(。
[证明] 任取∞∈=l y i )(η，显然∑∞==1)(i i i x f ηξ是1l 上有界线性泛函，且||||||||y f ≤。
又取1l x k ∈使其第k 个坐标为1其余皆为0，则|||)(|||||k k x f f η=≥，,2,1=∀k 。
从而||||||||y f ≥，进而||||||||y f =．另一方面，设f 为1l 上有界线性泛函，令)(i i x f =η，则||||||||||||||f x f i i =⋅≤η， ,2,1=∀i ，从而∞∈=l y i )(η。
对1)(l x i ∈=∀ξ，我们令),0,0,,,,(21 n n u ξξξ=， 则∑∑∑======ni i i ni i i ni i i n x f x f u f 111)()()(ηξξξ．注意到在1l 中x u n →，以及f 为1l 上有界线性泛函，故∑∞==1)(i i i x f ηξ，并且满足这样条件的∞∈=l y i )(η是唯一的．16. 证明：n 维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n 维线性赋范空间。