毕业论文学院统计与应用数学学院班级数学一班学号姓名论文题目函数不等式的几种证明方法分析指导教师（姓名及职称）讲师[总评成绩： ]函数不等式几种证明方法分析Analysis of methods in proving function inequalities统计与应用数学学院数学与应用数学专业2010 （1）班2010720066指导老师：内容摘要：不等式在数学中有非常重要的地位，对于不等式的考察可以体现学生的基础知识水平和严密的逻辑思维。

在高中我们就学过比较法和构造函数法来解决不等式问题，在高等学府学习过数学分析，微积分等等以后，了解到还有许多方法来证明不等式，比如说设置辅助函数，考察新函数单调性；考察函数的极值或者是最大最小值；有微分中值定理；函数的凹凸性；泰勒公式；积分性质；积分中值定理；变限积分；柯西中值定理；导数的性质；导数的定义，不等式的放缩等等方法。

本文将逐一介绍这些解题方法，每种方法都会通过一些例题，来验证一些解题的思想和步骤，给出简洁的证明过程，使得大家在碰到数学不等式证明方面更为得心应手，也显示出数学分析思想在不等式领域中的地位。

关键词：不等式；泰勒级数；函数单调性；中值定理；定积分Abstract:：Inequality holds the extremely important status in mathematics, it can inspect students’basic knowledge level and strict logical thinking. In high school we learned comparative method and construct assistant function to solve the inequality problem, after learning mathematical analysis or calculus at university, ,we know there are many other methods to prove inequality, for example setting auxiliary function, considering the monotonicity of the new function; using the function’s extreme value and maximum or minimum values; differential mean value theorems; the concavity or convexity of functions; Taylor formula; integral; integral mean value theorem; variable limit integral derivative; definition of inequality and so on. This paper will introduce the above methods, through some examples to verify the ideas and steps of each methed furthermore we give a concise proof to prove thses inequalities, let everybody can prove mathematical inequalities more handy, and shows the important of mathematical analysis in the inequality field.Keywords: Inequality；Taylor’s series；Monotone function；Mean value theorem ;Definite目录一引言 (1)二解题思想和方法 (1)1导数法 (1)2中值定理法 (7)3其他证明方法 (10)三总结 (13)参考文献 (14)一 引言不等式是数学非常重要的组成部分，使我们了解量之间的大小关系，在数学中起着很重要的用处。

对于一个数学系学生来说，或者是对于一个学生来说，多做不等式方面的题目，能丰富数学知识，又能锻炼逻辑思维，因为证明不等式，方法多变，解题手段灵活，有很强的技巧性。

不等式更在一些实际问题中充当工具性的方法，有时对于一个实际问题而言，证明其中的不等式只是很小的一部分，但是却不能忽略它的存在。

高等数学中的不等式基本可以分为函数不等式和数值不等式，两者都可以通过构造新函数来证明不等式，两者证明的方法是很相似的。

证明不等式没有特定的套路去套用，方法随着题目的不同而也在变化，有时只是变换很小的一部分，方法就能彻底的改变。

在具体做题目的过程中，要注意观察，善于联想，根据不等式的结构，内在的一些联系来选择最合适的方法，熟悉证明方法的推理思维，熟悉步骤技巧，能看透问题的本质，这样就能选出正确的方法去证明。

在高中的时候，我们就会一些不等式的证明，但对于有些不等式，需要借助到高等数学或者是微积分才能解决，从构造新函数，研究新函数的性质，比如单调性，极值最值；到套用一些公式，比如Lagrange 中值定理，Cauch y 中值定理等等；还有研究函数的导数的一些性质，以及积分不等式的解法等等，都是一些非常有技巧性且需要很强逻辑思维能力的题目，下面将一一介绍这些方法。

二 解题思想和方法1导数法导数的内容我们在高中就学过，大学之后就给了一个更精准的定义。

在大学里，我们加强了用导数来求单调性的能力，并且引入了新的概念即函数凹凸性，函数的极值。

这些东西在合适的条件下都能表达一定的大小关系，所以用导数来求解不等式，是一个很基础的方法。

1.1导数定义法这一方法要求我们首先找出0x ，使得)(0x f 为不等式的一边，这时候利用定义和条件去证明。

这种方法较为简单，也不是很常用，但不容易想起。

例1[5] 现有一个函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++…，n a a a ,,21都是实数，n 为R +，对于R x ∈∀，都有x x f sin )(≤，求证1221n a a na +++≤… 证：因为12()cos 2cos2cos n f x a x a x na nx '=+++…所以12(0)2n f a a na '=+++…，再由导数定义可以得到0()(0)(0)0lim x f x f f x →-'==- 00()()lim lim x x f x f x x x →→==又因为x x f s i n )(≤，所以1s i n )0(lim 0=≤'→x x f x ，所以1221n a a na +++≤…，原不等式得证。

这一题其实只要能想起导数的定义，再将原式的在0处的导函数值，就能 简单的凑出导数的定义的大框架，问题就迎刃而解了。

1.2可导函数单调性法这种方法一般将多项式移向不等式的一端，然后将此作为一个新的函数，研究它的单调性，结合函数的定义域等条件来研究函数的一些特征，从而完成证明。

这是最能让人联想起来的一种方法，很基础也很实用。

关于导数单调性的定理都反映了导函数和原函数的导数的关系，里面会出现很明显的大小关系，如果能将不等式与单调性结合在一起，证明将会变得很简单。

所以我们也经常用函数的导数来判断原函数在区间上的一些性质。

（1）利用题目来构造新函数，并且确定好区间[]b ,a ;构造函数较为简单技巧：利用两边的差；利用不等式两边的形式；若有指数等等，建议用比值来确定大小关系等等。

通过例题来简单的表述做差法和作商法。

例1[2]已知,a b c >>求证：222222a b b c c a ab bc ca ++>++证：原式变为222222222222a b b c c a ab bc ca ab ca b c bc c a ab ++--->-+-+- 2222(b )bc(b c)(c b )(b c)[a bc a(c b)]a c a =-+-+-=-+-+=()()()0b c a b a c --->例题解释：本题用了很简单的比较作差法，通过恒等变形，再由此联想到二次三项式的展开，问题就迎刃而解了。

例2[5]有,,0a b c >，求证：3()a b c a b c a b c abc ++≥证:由于对称性，可以设0a b c ≥≥>，a b c a b c 和3()a b c abc ++都是正数。

此时作商：222..3333333333b c ()a b c b c a c b a a b c a b c a b c a b c a b ca b ca b c a a b c abc ------------++===333()()()a b b c c a a b a b c c---，因为0a b c ≥≥>，所以1,1,1a b a b c c ≥≥≥，所以得出333()()()1a b b c c a a b a b c c---≥，所以有3()a b c a b c a b c abc ++≥。

这两个例子主要是教大家怎么构造新函数，无外乎作差或者是作比值，例2中不等式为指数式，很容易联想到指数的比值性质。

（2）在构造出函数的基础上,通过研究其函数的单调导函数的特征来研究新性，从而去证明不等式。

例3当0>x 时，证明)0(11)1ln(22>++->++x x x x x 。

证：首先构造函数,1)1ln(1)(22x x x x x f +-+++=有题意知)(x f 在0≥x 这个范围内是连续的；),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f 。

所以)(x f 在),0[+∞是单增的，所以知)0(,0)0()(>=>x f x f 所以有01)1ln(122>+-+++x x x x ， 所以)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x ，原题得证。

例4[4]证明：b ba ab a ba +++≤+++111。

证：构造新函数)0(,1)(≥+=x x x x f ，)(x f 在),0[+∞上是连续的。

求导可知,0)1(1)(2>+='x x f 有定理二知，)(x f 在),0[+∞上是单调递增的，又因为b a b a +≤+≤0，可知)()(b a f b a f +≤+。