关于用微积分理论证明不等式的方法学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法学院: 专业:学号: 姓名:指导教师:年 5月 13日填写说明一、毕业论文(设计)须用70克A4纸计算机双面打印,具体打印格式参见教务处主页《山西财经大学普通全日制本科毕业论文(设计)写作指南》。
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(保密的论文在解密后应遵守此规定)作者签名:指导教师签名:日期:日期:目录中文摘要Ⅰ英文摘要Ⅱ第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法 1第一节用可导函数的单调性证明不等式法 1第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法 2第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法 3第四节用柯西中值定理证明不等式法 4第五节上述几种方法小结 6第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法7第一节用导数定义证明不等式法7第二节用函数的凹凸性证明不等式8第三节用泰勒公式证明不等式法9第四节用幂级数展开式证明不等式法10第五节用定积分理论来证明不等式法11第六节引入参数证明不等式法 12第七节利用二重积分性质来证明不等式13参考文献15致谢16关于用微积分理论证明不等式的方法摘要:随着数学的发展,人们对数学的认识不断深化。
高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式含变量和数值不等式不含变量。
对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似。
微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式。
关键词:不等式;导数;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒公式Methods for Proving Inequality by Using CalculusAbstract:With the development of mathematics, mathematics is more and more important in our life. Higher mathematics involved in inequality, can be roughly divided into two types: function inequality including variables and numerical inequality do not contain variables. For the former, the general can be straight or slightly deformed tectonic function,thereby through the Institute constructor nature, and then to prove inequality; for the latter, we can also according to the characteristics of numerical inequality, the ingenious structure auxiliary function, thus the numerical inequality problem is transformed into a function problem, research method is similar to the former.Calculus is an important part of higher mathematics, taking it as a tool to better study the function of form, some conventional methods to prove inequality. According to the inequality structure, ingenious constructor, the inequality problem is transformed into a function problem, using the calculus theory to study the nature of function, application function to prove inequality.Keywords:Inequality; derivative; the Lagrange mean value theorem; Cauchy theorem; Taylor formula第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法第一节用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据:可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一:若函数在可导,则在内递增(递减)的充要条件是:。
定理二:设函数在连续,在内可导,如果在内(或),那么在上严格单调增加(或严格单调减少)。
定理三:设函数在内可导,若(或),则在内严格递增(或严格递减)。
上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性。
2.证明方法:(1)构造辅助函数,取定闭区间;(构造辅助函数方法:①利用不等式两边之差构造辅助函数;②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数;③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数。
)2研究在上的单调性,从而证明不等式。
3.例:求证:当x0时,证明:令,则,因,所以与同号。
由于满足,可见,于是。
由此可得在x0单调增加,又,于是所以在x0单调增加,又,故当x0时成立,即4.适用范围:利用函数单调性证明不等式,不等式两边的函数必须可导;对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续,开区间内可导,且在闭区间的某端点处的值为0,然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性。
第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法1.证明方法根据:极值的充分条件定理定理四(极值的第一充分条件):设在连续,在内可导,(I)若当时,,当时,,则在取得极大值;II 若当时,,当时,,则在取得极小值。
定理五(极值的第二充分条件):设在的某领域内一阶可导,在处二阶可导,且,,i若,则在取得极大值;ii若,则在取得极小值。
极值和最值是两个不同的概念,极值仅是在某点的邻域内考虑,而最值是在某个区间上考虑。
若函数在一个区间的内部取得最值,则此最值也是极值。
极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系。
2.证明方法:(1)构造辅助函数,并取定区间;(构造辅助函数的方法:①当不等式两边均含有未知数时,可利用不等式两边之差构造辅助函数;②当不等式两边含有相同的“形式”时,可利用此形式构造辅助函数;③当不等式形如(或)(为常数)时,可设为辅助函数)2求出在所设区间上的极值与最大、最小值。
(极值与最大、最小值的求法:①极值求法:(1)求出可疑点,即稳定点与不可导的连续点;(2)按极值充分条件判定可疑点是否为极值点。
②最大、最小值的求法:(1)闭区间上连续函数的最大、最小值的求法:先求出可疑点,再将可疑点处的函数值与端点处的函数值比较,最大者为最大值,最小者为最小值。
(2)开区间内可导函数的最大值、最小值的求法:若在内可导,且有唯一的极值点,则此极值点即为最大值点或最小值点)3.例:证明:当,n为自然数时证明:构造辅助函数,则当0x1时,;当x1时,除时外,均有,故在单调上升,在单调减小,因此在上取最大值。
于是有4.适用范围:若在区间I上达到最大值M,则。
若在区间I上达到最小值m,则。
第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法根据:拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:若函数满足下列条件:(I)在闭区间上连续;(II)在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得。
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系。
2.证明方法:①构造辅助函数,确定适用拉格朗日中值定理的区间;②对在上施用拉格朗日中值定理;③利用与的关系,对拉格朗日公式进行加强不等式。
3.例:设,证明证明:。
令,在上用拉格朗日中值定理,有其中。
又在上,单调减少,故所以4.适用范围:当所证的不等式中含有函数值与一阶导数,或函数增量与一阶导数时,可用拉格朗日中值定理来证明。
第四节用柯西中值定理证明不等式法1.证明方法根据:柯西中值定理柯西中值定理:若⑴函数与都在闭区间上连续;⑵与都在开区间内可导;⑶与在内不同时为0;⑷。
则在内至少存在一点,使得。
柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系。
2.证明方法:①构造两个辅助函数和,并确定它们施用柯西中值定理的区间;②对与在上施用柯西中值定理;③利用与的关系,对柯西公式进行加强不等式。
3.例:设,证明证明:,构造函数,,因均在上连续,在上可导,且,又,则,所以在上满足柯西中值条件,于是存在,使得,又因有,得: ,因此,即。
4.适用范围:当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数,或两个函数的函数增量及其一阶导数时,可用柯西中值定理证明。
第五节上述几种方法小结前面几种方法中,均可利用差式构造函数,但有时应用导数研究函数单调性证明不等式,有时应用导数研究函数极值证明不等式,而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式。