2 A v0 0 2 由旋转矢量法知： t 0时，y0
y
A
B
A
o
2 A 2
c
y
t
A
2 A 2
3 o 4

c
B
A
2）由图知A、B 点的振动状态为：
yA 0 v A 0 yB A v B 0
由旋转矢量法知：
A

2
B 0
3、已知波形曲线求某点处质元振动的初相位： 若已知某时刻 t 的波形曲线求某点处质元振动的初相 位，则需从波形曲线中找出该质元的振动位移 y0 的大小 和正负及速度的正负。 u y 关键：确定振动速度的正负。 方法：由波的传播方向，确定比该质 元先振动的相邻质元的位移 y 。
o
P
1 2
x
则 vo 0； 若 y y0，则v 0 0。 比较y0 和 y 。若y y0，
由图知：
对于1： y y0，则v 0 0。 思考? 若传播方向相反
则 vo 0 。 对于2 ： y y0，
时振动方向如何？
[例5]一列平面简谐波某时刻的波动曲线如图。 求：1）该波线上点A及B 处对应质元的振动相位。 2）若波形图对应t = 0 时，点A处对应质元的振动初相位。 3）若波形图对应t = T/4 时，点A处对应质元的振动初相位。 y B 解：1）由图知A、B 点的振动状态为： A u A yA 0 v A 0 A o x yB A v B 0 2
k 0,1,2,...

u

4m / se c
x 17 2k
A
x 1,3,5,7,9,...... 25,27,29m
可见在A、B两点是波腹处。
x
30 x 30 m
B
x
例题4：如图，一平面简谐波沿ox轴正向传播，BC为波密媒 质的反射面，波由P点反射，OP=3λ/4,DP=λ/6.在t=0时点O处 的质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求点D处入射 波与反射波的合振动方程（设振幅都为A,频率都为ν）。 解:设入射波的波函数为：
t x y入 A cos[2 ( ) ] T
T
O
反射

入射
B x P
D

x
t 2OP x 则有： y反 A cos[2 ( ) ]
C
t x 3 A cos[2 ( ) 2 ] T 2 t x A cos[2 ( ) ] T t x 合振动为： y y y ) cos(2 ) 入 反 2 A cos(2 T
相位、相位差和初相位的求法： 解析法和旋转矢量法。
1、由已知的初条件求初相位： ①已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。 A [例1]已知某质点振动的初位置 y0 且v0 0 。 2 y A cos( t ) 3 y A cos( t ) 3


3
的确定！！
④相位差 ：
(2 t 2 ) (1t 1 )
1 T
⑤周期 T 和频率 ν ： T 2
二、简谐振动的研究方法
1、解析法
x A cos( t )
v A si n( t )
2.振动曲线法
A
y
2
-A 3、旋转矢量法：

2 v0 2
策
先变化后稳定。
x
逐渐减小
x
x
振动曲线
t
o
t
o
t
速度共振 位移共振
能
量
守恒
逐渐耗尽
驱动力作正功 = 阻尼力 作负功
机械波的产生 1、产生的条件：波源及弹性媒质。 2、分类：横波、纵波。
3、描述波动的物理量： ①波长 λ ：在同一波线上两个相邻的相位差为2 的质元 之间的距离。 ②周期T ：波前进一个波长的距离所需的时间。
3 t 2 A cos(2 ) 3 Asin2t ( SI ) 2 T 2
由旋转矢量法知： B A A B 0 2 2）若波形图对应t = 0 时， A0 点A 处对应质元的振动初相位： 2 3）若波形图对应t = T/4 时，点A处对应质元的振动初相位：

2
A
c
t A 0

2

2 T

A0 0
求振动方程和波动方程

又由
x 0处, t 0时
y 2 A cos 0且v 0
故有：
/2
2t x y 2 A cos( ) cos(2 ) T 2
所以有
将D点的坐标代入上式，有
t 7 / 12 y D 2 A cos(2 ) cos 2 T 2 t 2 A cos cos(2 ) 6 T 2

由旋转矢量法知：
o 2x y A cos(500 t ) 200 4 5 2） x 100 m y A cos(500 t ) 4 dy 5 vy 500 A si n ( 500 t ) dt 4
0


4
4
y
[例3] 位于 A,B两点的两个波源,振幅相等,频率都是100赫兹， 相位差为π ,其A,B相距30米，波速为400米/秒，求: A,B 连线 之间因干涉而静止各点的位置。 解：取A点为坐标原点，A、B联线为x轴，取A点的振动方程 :
例1.一简谐波沿x轴正向传播，λ=4m, T=4s, x=0处振动曲线如图：
（1）写出x=0处质点振动方程；
（2）写出波的表达式； （3）画出t=1s时的波形。 解：(1)y Acos(ω t );
A 2; ω 由 t 0, 2π π ; T 2
y
2
2/2
2
4
t ( s)
2 π π 2cos;得 ； 又 v 0, 所 以 ; 0 2 3 3 π π π π 所 以 y 2cos( t ); (2)u 1, y 2cos[ (t - x) ] 2 3 T 2 3
现象：波的反射（波疏媒质
波的干涉
波密媒质 界面处存在半波损失）
1）相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定
2）加强与减弱的条件： 干涉加强：
2k
(k 0,1,2,...)
若10 20
干涉减弱：
r2 r1 k
(k 0,1,2,...)
2
(2k 1)
f kx
运动学方程：
x A cos ( t )
能量：
E Ek E p
Ek Ep
1 kA2 动能势能相互转化 2
1 E 2
简谐振动的描述 一、描述简谐振动的物理量 ① 振幅A：
A x
2 0
2

2 T
2 v0
② 角频率 ：
k m
v0 tg ③ 相位( t + ) 和 初相 ： x 0
R
u VR s u Vs
习题类别： 振动：1、简谐振动的判定。（动力学） （质点：牛顿运动定律。刚体：转动定律。） 2、振动方程的求法。 ①由已知条件求方程②由振动曲线求方程。 3、简谐振动的合成。 波动：1、求波函数（波动方程）。 ①由已知条件求方程②由振动曲线求方程。 ③由波动曲线求方程。 2、波的干涉（含驻波）。 3、波的能量的求法。 4、多普勒效应。
②已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。 1 [例2]已知某质点初速度 v 0 A且y0 0 。 2 v A sin( t ) v0 A si n 1 A 2 5 5 or y0 0 6 6 6
③已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。 [例3]已知某质点振动的初位置 y0 0.3 A且 v0 0.95A 。 v0 由tg 的可能值. y0
t 0 在x轴上B点发出的行波方程： y B A cos[
2 ( 30 x )
]
k 0,1,2,...

2x


2 ( 30 x )

( 2k 1)
k 0,1,2,
相干相消的点需满足： 30 2 x
(k 1)
若10 20
( 2k 1)
3）驻波（干涉特例） 能量不传播 波节：振幅为零的点 波腹：振幅最大的点
多普勒效应： （以媒质为参考系） 1）S 静止，R 运动
u VR R s u
s
R
2）S 运动，R 静止
u R s u Vs
一般运动：
由y0的正负确定 的值.
注意！由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始 条件确定初相位。 2、已知某质点的振动曲线求初相位： 若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t = 0 时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。 关键：确定振动初速度的正负。 考虑斜率。
y
o
1
2
t
[例4] 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。 求： 1）该质元的振动初相。 2）该质元在态A、B 时的振动相位分别是多少？ 解：1）由图知初始条件为：
大学物理
知识点总结
（机械振动与机械波）
第九章
机械振动与机械波
机械振动
简谐振动 简谐振动 的特征 简谐振动 的描述 简谐振动 的合成 机械波
阻尼振动 受迫振动
机械波的 产生
机械波的 描述
波动过程中 能量的传播
波在介质中 的传播规律
简谐振动的特征
回复力： 动力学方程：