•由恒温封闭系综组成的正则系综； •由开放系统组成的巨正则系综。
2019/2/16
6
二、刘维尔定理
( q 1
1
q p p t f; 1 f;)
1 f f
T时刻
T+dt时刻
( qq d t , , p p d t ; t d t )
d ( qq d t ,, p p d t ; t d t ) d t 1 1 f f d t
结构完全相同的系统，各自从其初态出发独自地沿着 正则方程的轨道运动。这些系统的运动状态的代表点将在 相空间中形成一个分布。:
d d q q d p p 1 d f 1 d f
——相空间的一个体积元 ( q p 1 q f; 1 ptd f;)
——t时刻运动状态在体积元内代表点数 ( q p p t 1 q f; 1 f;)
d t d q p d t d i i t q p i i i
q p 0 i i t i q p i i
2019/2/16
第九章
系综理论
最概然分布法只能处理由近独立粒子所组成的系统。 如果粒子间的相互作用不能忽略，系统的能量表达式除包
含单个粒子的能量外，还包含粒子间相互作用的势能,上述 理论就不能应用。系综理论是平衡态统计物理的普遍理论， 系综理论可以应用于有相互作用粒子组成的系统。
2019/2/16
1
系综：
在一定的宏观条件下，大量性质和结构完全相同的处于各 种运动状态的各自独立的系统的集合。系综中的每个系统 和被研究的系统具有完全相同的结构，受到完全相同的宏 观约束，但可能处于不同的微观态。系综是统计物理中假 想的工具，而不是实际的客体，实际的客体是组成系综的 单元——系统。
2019/2/16
——代表点密度
5
( q qp ; p ; t ) d N
1 f 1 f
N ——系统总数
当系统达到宏观平衡态时，具有的宏观性质不随时间变 化，任何一个宏观量都不是时间的函数，则分布函数一定不
是时间的函数，即满足平均条件，相应的系综是稳定系综。 根据不同的宏观条件，将常见的稳定系综分为三种： •由孤立系统组成的微正则系综；
d [ q p i i] d t t i q p i i
2019/2/16 7
考虑相空间中一个固定的体积元:
d d q q d p p 1 d f 1 d f
体积元边界:
q , q d qpp ; i, i d p i i i i
1 ,2 , i
qd d t d A qd d i q i i t q q i i
2019/2/16 9
类似的， d t 时间内通过一对平面 pi , pi dpi净进入 d 的代 表点数为：
pi dtd pi
则 d t 时间内净进入 d 的代表点数为：
f Ni ri
i
2019/2/16
3
系统在任一时刻的微观运动状态由f 个广义坐标及相应的f p1 p2 p f 个广义动量在该时刻的数值确定。 q1q2 q f 共2f个变量为直角坐标可以构成一个2f 维空间，称为相空 间或 空间。系统在某一时刻的运动状态，可以用空间中 的一点表示,称为系统运动状态的代表点.
哈密顿正则方程:
1 ,2 , , f i H pi qi 一个能量有固定值的系统，其运动状态的代表点只 能在该能量相当的能量曲面上运动。
2019/2/16 4
H qi pi
qi pi 0 qi pi
能量曲面:
H ( p p p , q q ) E 12 f 1 2 q f
t 时间内通过平面 q i dq i 走出的代表点数为：
q d t d A [ q q d q ] d t d A i i i i q d q q i i i q i
d t 时间内净进入平面的代表点数为：
, f
t时刻代表点数： t+dt时刻代表点数： 增加代表点数：
2019/2/16
d
( dt)d t d td t
8
计算通过 q i 平面进入 d 的代表点数，边界面积为：
d A d q q d q q d p p 1 d i 1 i 1 d f 1 d f
10
qi pi 由正则方程： 0 qi pi
p 0 i i q t i q p i i
又：
d [ q p i i] d t t i q p i i
d ——刘维尔定理 0 dt H H t q p p q i i i i i
表明：如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空 间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。
2019/2/16 11
•表达式交换 t t 保持不变，说明刘维尔定理是可逆的。
•刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中并未引入任何统 计的概念。
系综理论中做了两点假设：
•宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于 系统平均； •平衡孤立系的一切可达微观态出现的概率相等。
2019/2/16 2
§9.1 相空间 刘维尔定理
一、相空间
• f 表示整个系统的自由度。设系统是由N个全同粒子组 成的，粒子的自由度为r，则系统的自由度为：
f Nr • 如果系统包含多种粒子，其中第i 种粒子的粒子数为Ni, 第i 种粒子的自由度为ri, 则系统的自由度数为：