x22 x12
(x2 x1)(x2 x1)
又 x1 x2 0, x2 x1 0, x2 x1 0
③
k y x2 x1 0 x
故f (x) x2 2在区间( , 0]上是单调增函数.
④
例3
求证：函数
f (x)
=
1 x
因此 f (x) = 1 在区间(0 ，＋∞)上是减函数． x
证明函数
f (x) =
3 在区间(-∞，0)上是减函数． x
1.增函数减函数定义．
2.证明函数单调性的步骤：
（1）计算 x 和 y；
（2）计算 k = y ； x
当 k＞0时，函数 y = f (x)在这个区间上是增函数；
当 k＜0时，函数 y = f (x)在这个区间上是减函数．
在区间(0，＋∞)上是减函数．
证明：设 x1，x2 是(0,+∞)内的任意两个不相等的正实数，则
x = x2- x1
y = f (x2)- f (x1)
1 1 x ．
x2 x1
x1x2
y
1
k 0
x
x1x2
计算 x 和y
计算 k y
x
当 k＞0时，函数在这个区 间上是增函数； 当 k＜0时，函数在这个区 间上是减函数．
y
-1 O 1 2 3 4 x
解：函数在区间[-1，0]，[2，3]上是减函数； 在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．
画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
yx
y1
x
(2) y x2 2.
y
y=-x2+2
2
1
x
-2 -1
12 x
-1
-2
y 1的单调减区间是 _(____,_0_)__, __(_0_,___)__;
S2 计算 k = x ． S3 当 k＞0时，函数在这个区间上是增函数；
当 k＜0时，函数在这个区间上是减函数．
求证：函数f (x) x2 2在区间(, 0]上是单调增函数.
证明：对于区间(, 0]内的任意两个值x1, x2,且x1 x2 ①
x = x2- x1
②
y = f (x1) f (x2 ) (x12 2) (x22 2)
在给定区间上为增函数的充要
条件是
y x
>0 ，这个给定的区
在条给件定是区yx间<上0 ，为这减个函给数定的的充区要
间就为单调增区间。
间就为单调减区间。
任务二、判别函数单调性
例1 给出函数 y = f (x) 的图象，如图所示，根据图 象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间 上是减函数？

xy＞0
增函数：在给定的区间上任取 x1，x2，且 x1 ≠ x2 ，函
数
f
(x)
在给定区间上为增函数的充要条件是

y x
＞0，
这个给定的区间就为单调增区间．
y
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2
x
类比得到减函数概念
y
f(x2)
f(x1)
O
x1
x2取x1，x2，(x1 x22) 函数f (x)
（2）观察教材 P 64，例2 的函数图象，分别说出函 数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．
任务二、判别函数单调性
y
怎样利用函数解析式判断单调性
y
f(x2)
y=f(x)
f(x1)
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
xO
x1
x2
x
增函数
减函数
自变量增大(x>0) 函数值增大(y>0)
= 3(x2 － x1) k y 3 0
x
计算 x 和y
计算 k y
x
当 k＞0时，函数在这个区 间上是增函数； 当 k＜0时，函数在这个区 间上是减函数．
因此，函数 f(x)＝3 x＋2在区间(-∞，+∞)上是增函数．
总结：由函数的解析式判定函数单调性的步骤：
S1 计算 x 和 y． y
吉林省白山市第一中学 张世洋
学习任务
一、理解函数单调性的概念 二、掌握判断函数的单调性的方法 （运用图象法 、定义法判断一些函数 的单调性）．
任务一、探究函数的单调性概念
观察第一组函数图象，指出其变化趋势.
y
y=x+1
1
O1 x
y
1
O1 x
y
1
O1 x
从左至右图象呈_上__升___趋势.
观察第二组函数图象，指出其变化趋势.
在给定区间上为增函数的充要
条件是
y x
>0 ，这个给定的区
间就为单调增区间。
类比得到减函数概念
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
O
x1
f(x2)
x2
xO
x1
x2
x
增函数：在给定的区间上任 减函数：在给定的区间上任
取x1，x2，(x1 x22) 函数f (x) 取x1，x2，(x1 x2 ) 函数f (x)
y 0 x
自变量增大(x>0) 函数值减小(y<0)
y 0 x
例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间(－∞，+∞)上是 增函数．
证明：设 x1，x2 是任意两个不相等的实数，则 x = x2 － x1 y = f(x2) － f(x1) = (3x2+2) －(3x1+2)
y
y=-x+1
1
O1 x
y
1
O1 x
y
1
O1 x
从左至右图象呈_下__降___趋势.
观察第三组函数图象，指出其变化趋势.
y
y y=x2
y
O1
-1
1
-1
x
1
O1 x
1
O1 x
从左至右图象呈_局__部__上_升__或__下__降__趋势.
1.请谈谈图象的变化趋势怎样？ y
O
x
2.你能看出当自变量增大或减少时，函数值如何 变化吗？ y
x
y x2 +2的单调增区间是 __(____, _0_]_;
y x2 +2的单调减区间是 __[_0_,____)_.
思考：根据函数单调性的定义，
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) (0, )上是单调减函数? x
（1）观察教材 P 64，例1 的函数图象，说出函数在 (－∞，＋∞)上是增函数还是减函数．
O
x
结论：自变量增大，函数值也增大．
在函数 y = f (x)的图象上任取两点 A(x1，y1)，B(x2, y2) ， 记 x = x2－x1，y = f (x2)－f (x1) = y2－y1．
y
f(x2)
f(x1)
O
y
x
x1
x2
x
自变量增大，函数值也增大． 自变量减小，函数值也减小．