（A）
（B）
（C）5
（D）6
8. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与 顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的 距离组成的集合记为M，如果集合M中有 且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）
（C）10
（A） 4个
B A D C .P
（B）6个
个
（D）14个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数，其中，则______． 10. 若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____．
得，
………………13分
解得
.
………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题意，得，其中， ……………… 2分
所以 ，
又因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为. ……………… 4分
（Ⅱ）解：先考察函数，的图象，
配方得，
……………… 5分
所以函数在上单调递增，在单调递减，且.
6分
因为对于任意，且，都有成立，
北京市西城区2014年高三一模试卷
数 学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
2014.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四 个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集，集合，，则集合（ ）
（A）
（B） （C）
（D）
2. 已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ）
（A）
……………… 6分
由方程组 得， ……………… 7分
所以 ，
（*）
……………… 8分
由韦达定理，得, .
……………… 9分
பைடு நூலகம்
由是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合.
所以 ，
………………10分
解得 .
……………… 11分
由是线段的两个三等分点，得.
所以，
……………… 12分
即，
解得 .
……………… 13分
验证知（*）成立.
所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，
或.
……………… 14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列，，；
……………… 2分
（Ⅱ）证明：由题意，知，
所以 .
……………… 3分
若，
由为的一个5项子列，得，
所以 .
因为 ，，
所以 ，即.
这与矛盾.
8分
从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，
所以，
，
，
.
……………… 11分
所以随机变量的分布列为：
0123
12分 所以的数学期望．
分 （注：写出，，. 请酌情给分）
17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：因为底面和侧面是矩形，
所以 ，， 又因为 ， 所以
平面
， 因为 平面
………………2分
，
所以 .
………………4分
（Ⅱ）证明：因为 ，http://w ww.xkb1. com
所以四边形是平行四边形.
连接交于点，连接，则为的中点.
在中，因为，，
所以 .
………………6分
又因为 平面，平面，
A A1
D E D1 z y x F G
B B1
C
C1
所以 平面. ………………8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知，
又因为
，
， 所以 平面. ………………9分
设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x
轴，y轴，z轴 如图建立空间直角坐标系，
设，则. 设平面法向量为， 因为 ， 由得
令，得. 设平面法向量为， 因为 ，
由得
………………11分
令
，得
.
………………12分
由平面与平面所成的锐二面角的大小为，
14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动
点，设，，对于函数，给出以下三个结论：
当时，函数的值域为；
A
B
DC
P
，都有成立；
，函数的最大值都等于4.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2 的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.
12．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是 _______. 13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念 （每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导 教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）
数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列. （Ⅰ）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列； （Ⅱ）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差
满足； （Ⅲ）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：.
北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评
分标准
高三数学（理科）
2014.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
所以 ，
所以
.
因为 ，，
所以 .
综上， .
……………… 13分
新课 标第 一 网
寿命 （天）
频数
频率
20 30 70
50
合计
200
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值； （Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级 情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以 上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的 分布列和数学期望.
1．C
2．B
3．D
4．C
5．D
6．A
7．A
8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．
10．
11． 12．
13．
14．,
注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评
分标准给分.
15．（本小题满分13分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知. （Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）如果，，求△ABC的面积.
16．（本小题满分13分） 在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行
追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、 正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿 命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
………………
2分
（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品
有50个，
所以优等品、正品和次品的比例为. ……………… 4分
所以按分层抽样法，购买灯泡数，新 课 标 第 一 网
所以的最小值为．
……………… 6分
（Ⅲ）解：的所有取值为.
……………… 7分
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为， ………
所以 .
……………… 8分
考察函数 以下
，的图象，新|课 |标|第 |一| 网
则，
令，解得.
……………… 9分
随着变化时，和的变化情况如下：
↘
↗
即函数在上单调递减，在上单调递增，且.
……………… 11分
因为对于任意，且，都有成立，
所以 . 因为 （即），
……………… 12分
所以的取值范围为.
……………… 13分
（Ⅰ）解：因为 ，
所以 ，
……………… 3分
又因为 ，
所以 .
……………… 5分
（Ⅱ）解：因为 ，，
所以 .
………………7分
由正弦定理 ，
………………9分
得.
………………10分
因为 ，
所以 ，
解得 ，
因为 ，
所以 .
………………11分
故△ABC的面积.
………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：，.
17．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱
中，底面 和侧面 都是矩形， 是
的中点，
，
.
A
B
A1
B1
D
C
E
D1
C1
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：
// 平面
； （Ⅲ）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.
18．（本小题满分13分） 已知函数 其中．
（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意，且，都有，求的取值范围.
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为直线的方程为，
所以与x轴的交点，与轴的交点.
……………… 1分
则线段的中点，，
……………… 3分
即外接圆的圆心为，半径为，
所以外接圆的方程为.
……………… 5分
（Ⅱ）解：结论：存在直线，使得是线段的两个三等分点.
理由如下：
由题意，设直线的方程为，，，
则 ，，
所以 .
所以 ，
……………… 6分
因为 ，，
所以 ，即，
综上，得.
……………… 7分
（Ⅲ）证明：由题意，设的公比为，
则.
因为为的一个项子列，
所以 为正有理数，且，.