海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C ) A. ()f x x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B ) A.55B.55-C.255D.255-4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C ) A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（D ） A. 2[,0)3- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减.其中，正确结论的个数为（C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.10(21)d x x +=⎰___________.210. 已知数列{}n a 为等比数列，若13245,10a a a a +=+=，则公比q =____________.2 11. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为____________. a b c >>12.函数π()2sin()(0,||)2f x x =+><ωϕωϕ的图象如图所示，则ω=______________，ϕ=__________.2π3,π613.已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________.2λ>14.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,n x x x .若1a =，则123x x x ++=；若(1,3)a ∈，则122n x x x +++=________________.答案：14；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A =,32,b c =332ABC S ∆=. （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin B 的值.解：（Ⅰ）由60A =和332ABC S ∆=可得133sin 6022bc =, ---------------------------2分所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =,xyO31由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a bA B=可得------------------------------------11分 72sin sin 60B =，------------------------------------12分 所以21sin 7B =.------------------------------------13分 16. （本小题满分14分）已知函数2π()3cos42cos (2)14f x x x =-++. （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 在区间ππ[,]64-上的取值范围.解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以3πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分 17.（本小题满分13分）如图，已知点(11,0)A ，直线(111)x t t =-<<与函数1y x =+的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为()f t . （I ）求函数()f t 的解析式； （II ）求函数()f t 的最大值.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分xyH AOP所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分 （II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：t(1,3)-3 (3,11)'()f t + 0 -()f t↗极大值↘-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分 解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：t(1,3)-3 (3,11)'()g t + 0 -()g t↗极大值↘------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分 所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分18.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：①20a >；②对于任意正整数,p q 都有2p q p q a a +⋅=成立. （I ）求1a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；（III ）若2(1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分 （III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.（本小题满分14分）已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>.（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分(III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,解得2e 2e2e 2a -≥-. ---------------------14分20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*a ∈N ，*1*,3,,31,3,.nn n nn a a l l a a a l l +⎧=∈⎪=⎨⎪+≠∈⎩N N 令集合*{|,}n A x x a n ==∈N .（I ）若4a 是数列{}n a 中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II ）求证：{1,2,3}A ⊆；（III ）当2014a ≤时，求集合A 中元素个数()Card A 的最大值.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分 （II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++.下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9， 由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。