2014年北京高考数学(理科)试题一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==,则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ).1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的对称中心( ).A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ).7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的( ).A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4,则k 的值为( ).2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,()0,2,0C ,(D ,若 1S ,2S ,3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积,则( )(A)123S S S == (B)12S S =且 31S S ≠ (C)13S S =且 32S S ≠ (D)23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学,且至少有一科成绩比B 高,则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a r 、b r 满足1a =r ,()2,1b =r ,且()0a b R λλ+=∈r r,则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2,且与2214y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________; 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13.把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有_______种. 14.设函数)sin()(ϕω+=x x f ,0,0>>ωA ,若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性,且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ,则)(x f 的最小正周期为________. 三.解答题(共6题,满分80分)15.(本小题13分)如图,在ABC ∆中,8,3==∠AB B π,点D 在BC 边上,且71cos ,2=∠=ADC CD(1)求BAD ∠sin (2)求AC BD ,的长16.(本小题13分).李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过6.0,一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较)(X E 与x 的大小(只需写出结论)17.(本小题14分)如图,正方形AMDE 的边长为2,C B ,分别为MD AM ,的中点,在五棱锥ABCDE P - 中,F 为棱PE 的中点,平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. (1)求证:FG AB //;(2)若⊥PA 底面ABCDE ,且PE AF ⊥,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小,并 求线段PH 的长.18.(本小题13分) 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈,（1）求证:()0f x ≤;（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.19.(本小题14分) 已知椭圆22:24C xy +=,（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线2y=上,且OA OB ⊥,求直线AB 与圆222x y +=的位置关系,并证明你的结论.20.(本小题13分)对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L,记111()T P a b =+,112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ,其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数,（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ,求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值,对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ,试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.(3)在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使5()T P 最小,并写出5()T P 的值.(只需写出结论).2014年高考试题数学(理)【北京市试题卷】参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)(1)C (2)A (3)B (4)C(5)D (6)D (7)D (8)B二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9)-1(10)5(11)221 312x y-=2y x=±(12)8(13)36 (14)π三、解答题(共6小题,共80分)(15)(共13分)解:(I)在ADC∆中,因为17COS ADC∠=,所以43sin7ADC∠=。

所以sin sin()BAD ADC B∠=∠-∠sin cos cos sinADC B ADC B=∠-∠(Ⅱ)在ABD∆中,由正弦定理得338sin143sin437AB BADBDADB⨯⋅∠===∠,在ABC∆中,由余弦定理得2222cosAC AB BC AB BC B=+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=所以7AC=所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.(Ⅱ)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”, 事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”。

则C ＝AB AB U ,A,B 独立。

根据投篮统计数据,32(),()55P A P B ==.()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯ 1325=所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(Ⅲ)EX x =.(17)(共14分)解:(I)在正方形中,因为B 是AM 的中点,所以AB ∥DE 。

又因为AB ⊄平面PDE, 所以AB ∥平面PDE,因为AB ⊂平面ABF,且平面ABF I 平面PDF FG =,所以AB ∥FG 。

(Ⅱ)因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥,PA AE ⊥. 如图建立空间直角坐标系Axyz ,则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,BC uuu r(1,1,0)=.设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur 即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩令1,z =,则1y =-。

所以(0,1,1)n =-,设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则1sin cos ,2n BC a n BC n BC⋅===u u u ru u u r u u u r 。

设点H 的坐标为(,,).u v w 。

因为点H 在棱PC 上,所以可设(01),PH PC λλ=u u u r u u u rp p ,即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。

所以2,,22u v w λλλ===-。

因为n 是平面ABF 的法向量,所以0n AB ⋅=u u u r,即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=。

解得23λ=,所以点H 的坐标为422(,,).333。

所以222424()()()2333PH =++-=(18)(共13分)解:(I)由()cos sin f x x x x =-得'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-。

因为在区间(0,)2π上'()f x sin 0x x =-p ,所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减。

从而()f x (0)0f ≤=。

(Ⅱ)当0x f 时,“sin x a x f ”等价于“sin 0x ax -f ”“sin xb xp ”等价于“sin 0x bx -p ”。

令()g x sin x cx =-,则'()g x cos x c =-, 当0c ≤时,()0g x f 对任意(0,)2x π∈恒成立。

当1c ≥时,因为对任意(0,)2x π∈,'()g x cos x c =-0p ,所以()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减。

从而()g x (0)0g =p 对任意(0,)2x π∈恒成立。

当01c p p 时,存在唯一的0(0,)2x π∈使得0'()g x 0cos x c =-0=。

()g x 与'()g x 在区间(0,)2π上的情况如下:因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数,所以0()(0)0g x g =f 。