二次函数复习(附参考答案)
1．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)在给定区间[]n m ,上的值域 ()1 若a >0，
①当m a b
<-
2时. ()()[]n f m f y ,∈. ②当n a
b >-2时. ()()[]m f n f y ,∈
③当n a b
m <-
<2时.()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈n f m f a b f y ,max ,2在比较()()n f m f ,的大小时亦可以n m ,与对称轴的距离而比较。

()2若a <0，可得类似的结论。

但无论如何(⎪⎭⎫
⎝⎛
-a b n f 2,
2．二次函数与一元二次方2
++c bx ax 的根、与一元二次不等式的关系 二次函数 △情况 一元二次方程
一元二次不等式解集
Y=ax 2+bx+c (a>0)
△
=b 2-4ac ax 2+bx+c=0 (a>0) ax 2+bx+c>0 (a>0)
Ax 2+bx+c<0 (a>0) 图象与解
△>0
a
b x a
b x 2221∆+-=
∆--=
{}2
1
x x x x x ><或
{}21
x x x
x <<
△=0 a
b x x 221-
==
{}0
x x x ≠
Φ
△<0
方程无解 R
Φ
o
x
y a b 2- m
n x
y o a b
2-
m
n
o x
y a b 2-
m n
3、一元二次方程根的分布条件 根的分布 X 1<x 2<k
k < X 1<x 2
X 1 <k<x 2
X 1, x 2∈(k 1,k 2)
X 1、x 2有且仅有 一个在(k 1,k 2)内
图 象
充 要 条 件
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->>∆k a b k f 20)(0 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>->>∆k a
b k f 20)(0 0)(<k f
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
<-<>>≥∆2
12120)(0
)(0k a b k k f k f ⎪⎩⎪
⎨⎧<-<+=⎪⎩
⎪
⎨⎧
+<-<=<⋅22122
1112122
0)(220)(0)()(k
a b k k k f k k a b k k f k f k f 或
例1、（1）函数2
([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ ）
()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <
（2若函数2
(2)3([,]y x a x x a b =+++∈）的图象关于1x =对称则b = ． (3)m 取何值时，方程2
2
7(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1． (4) 方程0422
=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿。

(5)设y x ,是关于m 的方程0622
=++-a am m 的两个实根，则2
2
)1()1(-+-y x 的最小
值是（ ） (A)449-
(B)18 (C)8 (D)4
3
(6)若函数)3(log )(2
+-=ax x x f a 在区间]2
,(a -∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）
(A) (0,1) (B)(),1+∞ (C))32,1( (D))32,1()1,0(⋃
(7)方程1
11042x x a -⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
有正数解，则a 的取值范围为 。

例2、已知函数2244)(2
2+-+-=a a ax x x f 在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值。

例3、若函数()()1log 6log 132
3++--==a x a x a x f y 在[]1,0∈a 上恒为正值，求实数x
的取值范围。

例4、已知二次函数b a bx ax x f ,()(2
+=为常数，且a ≠0)，满足条件:0)2(=f 且方程
x x f =)(有等根．⑴求)(x f 的解析式; ⑵问是否存在实数m ，n (m <n )，使)(x f
的定义域和值域分别是[m ，n ]和[2m ，2n ]．如果存在求出m ，n 的值;如果不存在，说明理由．
例5、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
例6、设二次函数2
()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足
1201x x <<<．（1）求实数a 的取值范围；
（2）试比较(0)(1)(0)f f f -与1
16
的大小，并说明理由．
例7、已知函数0)1(),1(2)(2
=<<++=f a b b ax x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. （1）求证：13-≤<-b 且0≥a ；
（2）若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负，并说明理由.
例8、设)()(2
c b a c bx ax x f >>++=，0)1(=f ，b ax x g +=)(． （Ⅰ）求证：函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象有两个交点；
（Ⅱ）设)(x f 与)(x g 的图象的交点A 、B 在x 轴上的射影为1A 、1B ，求||11B A 的取值
范围；
（Ⅲ）求证：x ≤3-时，恒有)()(x g x f >．
例9．设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )
（Ⅱ）求g (a )
（Ⅲ）试求满足)1
()(a
g a g =的所有实数a
例10、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2
()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；
（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121
y kx a =+
+对称，求b 的最小值．。