总结： C
条件
CD为⊙O的直径 CD⊥AB
. O
E
A
B
D
结论
AE=BE
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
9
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
O
D D
O
AE
B分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
A
D
B
20
讲解
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦
C
所夹的弧相等吗？
A
已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒
⌒
M D B
. O
N
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，
CM＝DM（垂直平分弦的直径平⌒分弦所对⌒的弦） ⌒
⌒
AM－CM ＝ BM －DM
∴AC＝BD
⌒
C
A
┗●
B n由 ① CD是直径
M●O
③ AM=BM
可推得
平分弦（不是直径）的直．径 D 垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC, ⌒⌒
⑤AD=BD.
不是直径
12
“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
21
垂径定理的推论2 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
M
C
D
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
22
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
E
A
┌ D
B
D 60C0
23
2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直
O
线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三
角形。
E
CA
BD
24
3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与
大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大
小有什么关系？为什么？
O
AC G
DB
25
随堂训练
已知P为
D
A
B
.E O
C
15
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是
。
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是
。
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是
。
2 3cm
O AE B
O
8cm
AE B
2 3cm
O
AE
B
16
练习 2：
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为
.
5cm
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径
为
.
13cm
A
4C ∟3
B
O·
C
A
8
D
12
B
O
(1)题
(2)题
17
方法归纳: 1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
⊙o 内一点，且OP＝2cm，如果
的半径是
3 c m ，则过P点的最长
条件
CD为直径 ACDE⊥=BAEB
D
结论
CD⊥AB ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
CD⊥AB吗？ C
Ｏ·
Ｏ
A
·
B
(E)
C
E
A
B
D
11
垂径定理的逆定理 AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. n 过点M作直径CD.
n 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
条弦增加”不是直径”的限制.
13
讲解
垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆
心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
A
E
B
.
O
解：连接OA，作OAEB于E. 1
AE=2AB=4 OA= AE2+OE2=5
14
变式： 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥ＡB 垂足为E，DE＝2cm,求⊙O的半径。
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C A
M└ ●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
AC和BC重合,
AD和BD重合.
⌒⌒⌒ ⌒
∴AC =BC, AD =BD.
B
8
5
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
C
（2） 线段： AE=BE ⌒ ⌒⌒ ⌒
·O
弧:AC=BC,AD=BD
E
A
A
●O
C n大于半圆的弧叫做优弧,如记作
D
(用三个字母).
⌒ AmB
2
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
3
4
赵州石拱桥 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦
的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确 到0.1m).
18
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
C
A
D
r
•
O
B
19
练习：在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，Ｏ Ｅ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
C
E
·O
垂径定理
1
⌒ 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
n以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”A⌒.B n 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
n 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).
B
m
⌒
n小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). AB
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重
合，AE与BE重合，AC , AD分别与BC 、BD重合．
D
⌒⌒
⌒
⌒
6
即直径CD垂直于弦AB，平分
弦AB,并且平分AB及ACB
C
⌒
⌒
·O
E
A
B
D
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
7
垂径定理
如图, 理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.