Ｄｉｓ ｃｒｅ ｔｅ Ｅｌｅ ｍｅ ｎｔ Ｍｅ ｔｈｏｄ Ｓ ｉｍｕｌａ ｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｒａ ｎｕｌａ ｒ Ｆｌｏｗ ａ ｎｄ Ｉｔｓ Ａｄｖａ ｎｃｅ ｓ
ＹＡＮＧ Ｙａｎｇ，ＴＡＮＧ Ｓｈｏｕ－ｇａｏ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｅｒｏｓｐａｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９２，Ｃｈｉｎａ）
离散元法的单元从几何形状上分类可分为块 体元和颗粒元两大类，如图 １ 所示。块体元中最常 用的有四面体元、六面体元；对于二维问题可以是 任意多边形元，但应用范围不广。颗粒元主要采用 球体元；对于二维问题采用圆盘形单元。还有人采 用椭球体单元和椭圆形单元，但不常用。离散元本 身一般为刚体，单元间的相对位移等变形一般由连 结于节点间的变形元件（如弹簧、黏壶（阻尼）、摩擦 元件等）来实现。
２００６年第 ５ 期
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综述
杂动力学行为的研究和多相混合材料介质或具有 复杂结构的材料的力学特性的研究中。它涉及到粉 末加工、研磨技术、混合搅拌等工业加工领域和粮 食等颗粒离散体的仓储和运输等生产实际领域。
近年来，离散元法的应用扩展到对连续介质向 非连续介质转化的力学问题中来。例如，混凝土等 脆性材料在冲击作用下产生的损伤和破坏，其实质 是力学模型从连续体到非连续体的转变过程。建立 在传统的连续介质力学基础上的有限元法等数值 计算方法难以直接用于计算和模拟材料具体的破 坏形式和破坏的全过程。而离散元法在这方面则具 有得天独厚的优势。 ２．２ 离散元法的创立和发展
对于颗粒流的快流状态，人们用颗粒动理论来 研究它。颗粒动理论模型通过对标准的动理论，即 Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ 方程耦合进颗粒碰撞非弹性的特点，从 而建立起颗粒介质动力学行为研究的理论基础。 Ｊｅｎｋｉｎｓ，Ｓｅｌａ，Ｇｏｌｄｈｉｒｓｃｈ，Ｂｒｅｙ 等从各种不同的颗粒 动理论模型出发，对颗粒流动方程的推导做出了巨 大的贡献。Ｂｒｅｙ 等人［２］针对颗粒动理论模型采用直 接 Ｍｏｎｔｅ－ Ｃａｒｌｏ 模拟方法（ＤＳＭＣ）模拟了稀薄颗粒 流动，得到了比较满意的结果。
流的影响，并且颗粒介质并不满足连续性的假定， 用整体连续介质模型误差较大，因此近几年很少应 用。另一种为非连续介质模型，其中目前最为活跃 的是离散元法。 ２．１ 离散元法概述
离散元法（ｄｉｓｃｒｅｔｅ／ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ＤＥＭ） 的思想源于较早的分子动力学 （ｍｏｌｅｃｕｌａｒ ｄｙｎａｍ粒子（单元）所组成，单元本身具有一 定的几何（形状、大小、排列等）和物理、化学特征。 其运动受经典运动方程控制，整个介质的变形和演 化由各单元的运动和相互位置来描述。
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｇｒａｎｕｌａｒ ｆｌｏｗ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｒｅ ｖｅｒｙ ｃｏｍｍｏｎ ｉｎ ｍａｎｙ ａｇｒｉｃｕｌ－ ｔｕｒａｌ ａｎｄ ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ ａｒｅａｓ，ｂｕｔ ｓｔｉｌｌ ｐｅｏｐｌｅ ｄｏｎ＇ｔ ｋｎｏｗ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ｇｒａｎｕｌａｒ ｆｌｏｗ ｑｕｉｔｅ ｗｅｌｌ． Ｎｏｗａｄａｙｓ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｎｇ ｇｒａｎｕｌａｒ ｆｌｏｗ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｐｒａｃｔｉｃｅｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａ ｕｓｅｆｕｌ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｇｒａｎｕｌａｒ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅ ｂａｃｋ－ ｇｒｏｕｎｄ ｏｆ ｇｒａｎｕｌａｒ ｆｌｏｗ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ． Ｔｈｅ ｋｉｎｅｔｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｒｉｃ－ ｔｉｏｎ－ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｇｒａｎｕｌａｒ ｆｌｏｗ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ ａｒｅ ｓｕｍｍａ－ ｒｉｚｅｄ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｖａｒｉｏｕｓ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ， ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ａｒｅａ ｏｆ ｐｏｗｄｅｒ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｒｅ ｂｒｉｅｆｌｙ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ ｉｎ ｇｒａｎｕｌａｒ ｆｌｏｗ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｔｕｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｏｐ－ ｉｃｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｇｒａｎｕｌａｒ ｆｌｏｗ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ
早在 １７８０ 年，Ｃｏｕｌｏｍｂ 在达芬奇研究的基础 上提出了固体间的古典摩擦定律，指出固体间摩擦 力正比于其间的正压力，并且固体间的静摩擦系数 大于滑动摩擦系数。而最早揭示颗粒摩擦应力本构 关系的研究始于 ２０ 世纪 ５０ 年代，Ｂａｇｎｏｌｄ 做了蜡 球在甘油－ 酒精－ 水溶液中的同轴剪切流变仪试验， 提出著名的 Ｂａｇｎｏｌｄ 定律。７０ 年代以后，颗粒流研 究进入一个蓬勃发展的阶段。Ｏｇａｗａ 引入“颗粒温 度”的概念。在此基础上，颗粒流的动理论模型迅速 得到建立。１９７９ 年 Ｃｕｎｄａｌｌ 和 Ｓｔｒａｃｋ 开发了第一个 研究颗粒介质力学行为的二维离散元模拟程序，成 为离散元模拟颗粒运动的开端。Ｓｐｅｎｃｅ 提出基于 Ｍｏｈｒ－ Ｃｏｕｌｕｍｂ 条件的双剪切模型，并把它用于颗 粒流动的研究中。进入 ９０ 年代以来，由于先进的实 验技术的引入，人们观察到许多如自发无序混合、 指进、非均匀尺寸颗粒的偏聚等非线性现象。这些 问题的发现为学者们进一步认识颗粒流作用机理 提出了挑战。
颗粒流指的是颗粒物质在外力作用和内部应力 状况变化时发生的类似于流体的运动状态。在自然 界中，这样的现象很多，如雪崩、沙丘演化、泥石流、
收稿日期：２００５－ １２－ ２０，修回日期：２００６－ ０３－ ０９。 第一作者简介：杨洋（１９８１－ ），男，硕士研究生。电话：１３７７４２６２９２０， Ｅ－ｍａｉｌ： ｙｙａｎｇ１６７＠１６３．ｃｏｍ。
综述
颗粒流的离散元法模拟及其进展
杨 洋，唐寿高
（同济大学 航空航天与力学学院，上海 ２０００９２）
摘 要：颗粒流问题是众多工农业生产领域中的常见问题，然而人
们至今对颗粒流机理认识不深。目前一种基于离散元的数值模拟方
法被用以模拟和分析颗粒流问题，研究实践表明该方法是散体力学
分析的一种有效的工具。本文介绍了颗粒流研究的背景以及离散元
法的发展过程，概述了颗粒流动力学研究的动理论模型和摩擦塑性
模型，综述了离散元法的理论和各种颗粒作用模型及其在粉体工程
领域的应用，讨论了颗粒流研究的主要困难和离散元法发展中亟待
解决的问题。
关键词：颗粒流；数值模拟；离散元法
中图分类号：Ｏ２４２
文献标识码：Ａ
文章编号：１００８－ ５５４８（２００６）０５－ ００３８－ ０６
滑坡等都属于颗粒流。颗粒的间隙充满气体或液体 物质，故严格说来，颗粒流应为多相流。但是，当粒 子是密堆积或比间隙流体稠密得多，则间隙流体效 应可忽略。通常的颗粒材料流即指这种狭义上说的 颗粒流动。
在众多工农业生产领域，如制药、陶瓷、水泥、 煤 炭 、冶 金 、食 品 、能 源 、化 工 ，经 常 遇 到 颗 粒 流 问 题。由于人们至今对颗粒流机理认识不深，据估计， 在相关工业部门，单由输送颗粒材料遭遇的问题所 带来的工业设备利用能力的浪费就高达 ４０％，远远 达不到优化设计和节能的要求。
图 １ 离散元的单元分类 Ｆｉｇ．１ Ｃａ ｔｅ ｇｏｒｙ ｏｆ ｄｉｓ ｔｉｎｃｔ ｅ ｌｅ ｍｅ ｎｔ
离散元法自问世以来，其主要应用领域集中在 岩土工程和粉体（颗粒散体）工程这个方面。首先， 在岩土计算力学方面，由于离散单元能更真实地表 达节理岩体的几何特点，便于处理所有非线性变形 和破坏都集中在节理面上的岩体破坏问题，被广泛 应用于模拟边坡、滑坡和节理岩体地下水渗流等力 学过程。离散元法还可以在颗粒体模型基础上通过 随机生成算法建立具有复杂几何结构的模型，并通 过单元间多种连接方式来体现土壤等多相介质间 的不同物理关系，从而更有效地模拟土壤开裂、分 离等非连续现象，成为分析和处理岩土工程问题的 不可缺少的方法。其次，在粉体工程方面，颗粒离散 元被广泛地应用于粉体在复杂物理场作用下的复
对于处于准静态流与快流转换区的慢流状态， 由于库仑摩擦应力与动理论应力同样不可忽略，问 题非常复杂，精确描述此状态的理论模型还难以得 到，通常做法是将颗粒快流和准静态流的结果拼凑 起来组成经验解。
２ 离散元法
随着计算机技术的发展，数值模拟在工程计算 与科学研究方面发挥了越来越重要的作用。在颗粒 流的研究与应用方面，数值模拟方法也显示了其广 泛的适用性和巨大的生命力。一般采用的数值模拟 方法不外乎连续介质模型和非连续介质模型。连续 介质模型把颗粒流看成是由连续的物质所组成，用 拟流体的方法加以研究，其数学模型主要有上面提 到的动理论模型和摩擦塑性模型。连续介质模型因 其过分依赖高度简化的、规定性质的本构方程，忽 略了颗粒物性参数、粒径、形状及其分布等对颗粒
１ 摩擦塑性模型与颗粒动理论模型
１．１ 摩擦塑性模型 根据流动的特点，颗粒流常可划分为准静态
流、慢流和快流，分别对应颗粒流动的初始阶段、中 间发展阶段和完全发展阶段。准静态流动状态时，
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综述
颗粒间载荷超过粒子间的摩擦结合力，材料开始产 生破裂，但粒子仍保持接触并相互摩擦。对于这种 情形，可以采用基于 Ｍｏｈｒ－ Ｃｏｕｌｕｍｂ 准则的摩擦塑 性模型解决。摩擦塑性模型假设当材料的应力状态 满足某一屈服条件时会开始流动。人们已对颗粒材 料建立起多种屈服条件，并提出了不同的摩擦塑性 模型，其中有：双剪切模型、塑性势模型和双滑移自 由转动模型。双剪切模型假设：颗粒流中变形出现 在临界剪应力满足 Ｍｏｈｒ－ Ｃｏｕｌｕｍｂ 条件的两族平 面上。Ｄｅ Ｊｏｓｓｅｌｉｎ ｄｅ Ｊｏｎｇ 的双滑移自由转动模型的 控制方程具有与二维双剪切模型的控制方程几乎 相同的形式。Ｈａｒｒｉｓ［１］从一个共同的规则得到了这两 种理论以及塑性势理论，并提出了一个可以涵盖这 ３ 种理论的统一的塑性流模型。 １．２ 颗粒动理论模型