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练习2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题中的p是q的必要条件？ (1) 若a+5是无理数，则a是无理数。
(2) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。
分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。
➢ 引导分析：
p:有3米布料
q:做一件衬衫
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【问题探究】
例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
得到 x>2ab 。
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。
中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； 解：（命3题）（若1x）为（无2）理是数真，命则题x2，为命无题理（数3）是假命 题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件. 练习1： (1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似； (2) 若x > 5，则x > 10。 解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
假命题
符 号 “ ” 的 含 义源自如果命题“若p则q”为真，则记作 pq(或 qp)
如果命题“若p则q”为假，则记作 pq(或 qp5)
【问题探究】
例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
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一、引入
事例一
➢ 音乐欣赏《我是一只鱼》 ➢ 提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就
无法生存，但只有水，够吗？
探究： p：“有水”；q：“鱼能生存”． 判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
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一、引入
事例二：
有一位母亲要给女儿做一 件衬衫，母亲带女儿去商店买 布，母亲问营业员：“要做一 件衬衫，应该买多少布料？” 营业员回答：“买三米足够 了！”
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【方法小结】 判别充分条件 与必要条件
1、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
2、判别技巧：
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
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从集合的角度来理解充分条件、必要条件
p q，相当于P q ，即 P q 或 P、q
定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p q, 那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条 件注．：
①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够 的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即 “有之必成立”。
②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则 非p” 为真（非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”。
§1.2 .1充分条件与必要条件
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【实例引入】
同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时 候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那 么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这 是我的孩子”呢？
不会了！为什么呢？ 因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证 你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的 关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—— 充分条件与必要条件。
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所以命题（1）中的p是q的充分条件。
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的q是p的必要条件？ (1) 若x=y，则x2=y2。 (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等. (3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命 题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
•P足以导致q,也就是 说条件p充分了； •q是p成立所 必须具 备的前提。
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练习3，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sinA=sinB是A=B的充分条件； （4）ab≠0是a ≠ 0的充分条件。
答：命题（1）为真命题： 命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
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能力测试
1、用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0<x <5”是“ x – 2 <3”的充_分_____条件。
（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形 为正方形”的必__要____条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的充__分____条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 的__充__分____条件。
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练习4.用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
1.充“a分和b条都件是；偶数”是“a+b也是偶数”的
2.
3. 4.
“““必四 xx≠－要边31”相=是条0等“”件是”|x；“|≠是3x“”2－的四1=边必0”形的要是充正条分方件形；条”件的；
得到 x>2ab 。
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。
假命题
在真命题（1）中，p足以导致q，也就是说条件p充分了。
在假命题（2）中条件p不充分。
在真命题（1）中， q 是p成立所必须具备的前提。 在假命题（2）中， q不是p成立所必须具备的前提。 6
【定义得出】
③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它
7
们是同一个逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。
P10练习 用符号
与
填空。
（1） x2=y2
x=y；
（2）内错角相等
两直线平行；
（3）整数a能被6整除
a的个位数字为偶数；
（4）ac=bc
a=b
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【典例演练】
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题
5. “两个角是对顶角”是“这两个角相等”的
充分 条件；
6. “至少有一组对应边相等”是“两个三角形全
等”必的要
条件；
7. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不
为0)来说，“b2－4ac≥0”是“这个方程有两个正
根 8. “”a=的2必，b要=3”条是件“；a+b=5”的充分 条件；