● 无源性与稳定性：若零状态可检测系统:
x(t) = f (x) + g ( x)u, x∈Rn,u ∈Rm y(t) = h(x) + j (x)u, y ∈Rm 是无源的，储存函数为 S ( x) ∈C1 ，且 S (0) = 0 ，则 x = 0 是稳定平衡点。
考虑图示反馈系统。
u = u1
e = e1 H1
的，其输入无源度为δ 。
● 输出严格无源：若系统（2.1）是方的，且存在常数 γ > 0 ，使得系统（2.1）
关于供给率ω (u, y) = uT y − γ yT y 是耗散的，则称系统（2.1）是输出严格无源
的，其输出无源度为 γ 。
● 状态严格无源：若系统（2.1）是方的，且存在半正定函数 S ( x) 和正定函数
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
z = q(z,ξ ) + p(z,ξ )u
ξ1i = ξ2i
ξ ξ = i
i
ri −1
ri
m
∑ ξ i ri
= bi ( z,ξ ) +
aij ( z,ξ ) u j
j =1
yi = ξ1i i = 1, 2, , m
m
∑ 其中 z ∈ Rr , r = ri 。 i =1
ξ1 = ξ2 + f1 (ξ2 ,ξ3, ,ξn , u ) ξ2 = ξ3 + f1 (ξ3, ,ξn , u )
( ) ξn−1 = ξn + fn−1 ξn , u
ξn = u
7.2 非线性系统的耗散性
7.2.1 耗散性
考虑非线性系统：
x (t ) = f ( x,u), x ∈ Rn,u ∈ R p y (t ) = h( x,u), y ∈ Rq 其中 f (0, 0) = 0, h(0, 0) = 0 。
,
Tn
(
x
)
使得矩阵
∂T ( x
∂xT
)
为非奇异。
x0
若 令 y ≡ 0 ， 则 ξ ≡ 0 。 如 果 仿 射 非 线 性 系 统 在 (z,0) 处 具 有 相 对 阶 (r1, r2 , , rm ) ，则矩阵
{ } A(z, 0) = aij (z, 0)
非奇异。此时，令 B(z, 0) = {bi (z, 0)} ，则
0 = B(z, 0) + A(z, 0)u 解得 u = − A−1(z, 0)B(z, 0) 。将此 u 代入规范型，得
z = q ( z, 0) − p ( z, 0) A−1 ( z, 0) B ( z, 0) f *(z)
● 零动态：称系统 z = f * ( z ) 为系统(1.3)的零动态（子系统）。
Lg Lkf h ( x) = 0, k = 0,1, , r − 2
( ) Lg Lrf−1h x0 ≠ 0
则称该系统在 x = x0 处具有相对阶 r ，其中
L0f h ( x) = h ( x),
Lf
h(x)
=
∂h( x)
∂xT
f
(x)
( ) ( ) ∂
L2f h ( x) =
Lf h(x)
∂xT
Ψ ( z) = Ψ (Φ ( x)) = x, ∀x ∈ Rn
(2) Φ ( x) 和 Ψ ( x) 均是光滑映射，即均有任意阶偏导数；
则 Φ ( x) 是一全局微分同胚。
若其具有如下特性：
(1) Φ ( x) 是 Rn 的子集 U 上的光滑映射；
(2)
在点
x
=
x0
∈
U
处，Jacobi
矩阵
∂Φ ( x)
y = y1
y2
H2
e2
u2
● 耗散性与闭环稳定性：在图示反馈系统中，系统 Hi 均是零状态可检测的，关 于供给率
( ) ωi ei , yi = eiT yi − ρi yiT yi −ν ieiT ei 是耗散的，相应的储存函数为 Si ( x) ∈ C1 ，且 Si (0) = 0 ，
(1) 若 ν1 + ρ2 ≥ 0, ν 2 + ρ1 ≥ 0
证明：选取 Lyapunov 函数为V ( x) = S ( x) − S (0) 。
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
● 输出严格无源性与渐近稳定性：若零状态可检测系统:
x(t) = f (x) + g ( x)u, x∈Rn,u ∈Rm y(t) = h(x) + j (x)u, y ∈Rm 是输出严格无源的，储存函数 S ( x) ∈C1 为正定的，且 S (0) = 0 ，则 x = 0 是系 统 x (t ) = f ( x) 的局部渐近稳定平衡点；如果 S ( x) 为无穷大的，则 x = 0 是系统 x (t ) = f ( x) 的全局渐近稳定平衡点。
W ( x) ，使得
τ
∫0
u
THale Waihona Puke ydt≥S
(
x
(τ
))
−
S
(
x
(
0
)
)
+
τ
∫0
W
(
x
)dt
则称系统（2.1）是状态严格无源的。
● 无源的充要条件：存在可微半正定存储函数 S ( x) ，使得 系统:
x(t) = f (x) + g ( x)u, x∈Rn,u ∈Rm
y(t) = h(x) + j (x)u, y ∈Rm
为无源系统的充要条件是存在向量 l ( x), w( x) ，成立
Lf S ( x) ≤ −lT ( x)l ( x) Lg S ( x) = hT ( x) − 2lT ( x) w( x)
1 2
⎡⎣
j(x)
+
jT
( x)⎤⎦
=
wT
(x)w(x)
当上述充要条件成立时，称该系统具有 KYP 特性。
7.2.3 耗散性、无源性与稳定性
● 弱最小相位系统：如果系统(1.3)的零动态是稳定的，则称之为弱最小相位系 统。
● 最小相位系统：如果系统(1.3)的零动态是渐近稳定的，则称之为最小相位系 统。
● 零状态可观测：如果成立
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
{u (t ) ≡ 0, y (t ) ≡ 0} ⇒ {x (t ) ≡ 0}
∂xT
非奇异；
则 Φ ( x) 是一局部微分同胚。
对于 z 坐标，系统描述为
z(t) = f (z,u)
y(t) = h(z,u)
其中
f
( z, u )
=
∂Φ ( x)
∂xT
f
( x,u)
x=Ψ(z)
h ( z,u) = h ( x,u) x=Ψ(z)
7.1.2 仿射非线性系统
运动方程具有如下形式的非线性系统称为仿射非线性系统。
ξl = u
●严格反馈型--三角形结构
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
ξ1 = ξ2 + b1 (ξ1 ) ξ2 = ξ3 + b2 (ξ1,ξ2 )
( ) ξn−1 = ξn + bn−1 ξ1,ξ2 , ,ξn−1 ξn = u + bn (ξ1,ξ2 , ,ξn )
● 严格前馈型
● 耗散性与稳定性：若系统(2.1)是耗散系统，储存函数 S ( x) 在 x = 0 处取严格 最小值，即 S ( x) > S (0),∀x ≠ 0 ，且供给率满足ω (0, y) ≤ 0,∀y ，则 x = 0 是系 统(2.1)的自由运动 x (t ) = f ( x, 0) 的稳定平衡点。
( ) ( ) ξl−1 = bl−1 η,ξ1,ξ2 , ,ξl−1 + al−1 η,ξ1,ξ2 , ,ξl−1 ξl ξl = bl (η,ξ1,ξ2 , ,ξl ) + al (η,ξ1,ξ2 , ,ξl ) u
●严格反馈型--链式结构
η = f (η,ξ1 )
ξ1 = ξ2 ξ2 = ξ3
第七章 非线性系统鲁棒控制
7.1 非线性系统描述
7.1.1 非线性系统与坐标变换
非线性系统的一般描述：
x (t ) = f ( x,u), x ∈ Rn y (t) = h( x,u)
（1.1）
考虑如下非线性坐标变换
z = Φ(x) ∈Rn
若其具有如下特性：
(1) Φ ( x) 是可逆的，即存在函数 Ψ ( x) ，其满足
(1) 若对任意 w∈ Rm ，成立
ν
T 1
(w)
w
+
ρ2T
(
w)
w
≥
0,
ν
T 2
f (x),
∂
Lg Lkf h ( x) =
Lkf h ( x)
∂xT
g ( x)
定义（相对阶--MIMO 系统）：对于 MIMO 仿射非线性系统, 设 u, y ∈ Rm ，若在 x = x0 的一个邻域内满足
Lg j Lkf hi ( x) = 0, 1 ≤ i, j < m, k < ri −1 且 m × m 矩阵 A( x0 ) 非奇异，这里
为耗散不等式。若进而存在正定函数W ( x) ，使得
S
(
x
(τ
)
)
≤
S
(
x
(
0
)
)
+
τ
∫0
ω
(
u,
y
)dt
+
τ
∫0
W
(
x
)dt