f ( s )e
−j
ω
a
s
1 ω ds = F ( ) a a
4.微分性： 4.微分性： 微分性
原像函数的微分性： 若F [ f (t )] = F (ω )，且 lim f (t ) = 0, 则
t → +∞
F [ f ′(t )] = jω F (ω )
一般地，若 lim f ( k ) (t ) = 0 ( k = 0,1, 2,L, n − 1) , 则
−∞
变换中， 注 在 δ 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 δ 函数的 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 变换是一种广义的 广义的Fourier变换。 变换。 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的 变换
∫
+∞
−∞
δ (t − t0 ) f (t)dt = f (t0 ). （f ( t ) 为连续函数）
(2) δ函数为偶函数，即δ (t) = δ (−t).
函数的傅氏变换为: 二、δ-函数的傅氏变换为 函数的傅氏变换为
F[δ (t)] = F(ω) = ∫ δ (t)e
−∞
+∞
−iωt
dt = e
+∞
−iωt t =0
=1
于是δ (t)与常数1构成了一傅氏变换对.
1 δ (t ) = F [1] = 2π
−1
e dω ⇒ ∫ eiωt dω = 2πδ (t ) ∫−∞
−∞
+∞
iωt
例1 证明：1和2πδ (ω)构成傅氏变换对.
F 证法1： [ 1 ] = ∫ 1 ⋅ e
−∞ +∞ − iωt
1 则 F [ f (t ) cosϖ 0 t ] = [ F (ω + ϖ 0 ) + F (ϖ − ϖ 0 )]， 2 i F [ f (t ) sin ϖ 0 t ] = [ F (ω + ϖ 0 ) − F (ϖ − ϖ 0 )]， 2 1 iϖ 0t − iϖ 0t 证明： F [ f (t ) cosϖ 0t ] = F [ f (t )e + f (t )e ] 2 1 = [ F (ω + ω0 ) + F (ω − ω0 )] 2
−1
f (t )称为原像函数，F (ω )称为像函数。
单位脉冲函数及其傅氏变换 Fourier变换与逆变换的性质 变换与逆变换的性质
7.1.3单位脉冲函数及其傅氏变换 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
1 +∞ 1 +∞ 1 jωt jωt = ∫−∞ [πδ (ω )] e dω + 2π ∫−∞ jω e d ω 2π 1 1 +∞ cos ω t + j sin ω t = + dω ∫−∞ 2 2π jω
1 1 = + 2 2π
∫
+∞
−∞
1 1 sin ω t ω dω = 2 + π
7.2 Fourier变换与逆变换的性质 变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了 叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅 氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在 证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1.线性性质 线性性质: 线性性质
F [af (t ) + bg (t )] = aF [ f (t )] + bF [ g (t )] F [ AF (ω ) + BG (ω )] = AF [ F (ω )] + BF [G (ω )]
例1 求指数衰减震荡函数
t<0 0 f (t ) = − at 的傅氏变换. e sin ϖ 0t t ≥ 0 解： t<0 0 令 g (t ) = − at t≥0 e 则 f (t ) = g (t ) sin ϖ 0t.
而 F [ g (t )] = ∫ e
0 +∞ − at
dt s = −t ∫ eiω s ds = 2πδ (ω ) .
−∞
+∞
证法2：若F(ω)=2πδ (ω), 由傅氏逆变换可得
1 +∞ f (t) = 2πδ (ω)eiωtdω = eiωt =1 ∫−∞ ω=0 2π
例2 证明e
1 = 2π
和2πδ (ω − ω0 )构成一个傅氏变换对。 1 +∞ 证： (t) = f F(ω)eiωt dω ∫−∞ 2π
如果我们形式地计算这个导数, 则得 如果我们形式地计算这个导数
q(0 + ∆t) − q(0) 1 i(0) = lim = lim − = ∞ ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 够表示这样的电流强度 为了确定这样的电流强度 引进 一称为狄拉克(Dirac)的函数 简单记成δ-函数 的函数, 函数: 一称为狄拉克 的函数 函数
∫
δ (t)dt = lim∫−∞ δε (t)dt = lim∫0 dt =1 −∞ ε →0 ε →0 ε
+∞
+∞
ε
1
可将δ-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示δ-函数的积分值.
δ (t)
1 O t
+∞
δ-函数有性质：
(1) (筛选性质 )
∫
−∞
δ (t) f (t)dt = f (0) 及
d q(t) q(t + ∆t) − q(t) i(t) = = lim ∆t →0 dt ∆t
由于q(t)是不连续的 是不连续的, 当t≠0时, i(t)=0, 由于 是不连续的 从而在 ≠ 时 普通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 普通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
t →+∞
Ff
(n)
(t ) = ( jω ) F (ω )
n
像函数的微分性： F ′(ω ) = − jF [tf (t )]
(n) n n
(或F [tf (t )] =
F (ω ) = (− j ) F [t f (t )]
(或F [t
jF ′(ω ) )
n
f (t )] = j F (ω ) )
∫
+∞
sin ω t
0
ω
dω
1 1 = + 2 2π
∫
+∞
−∞
1 1 sin ω t ω dω = 2 + π
∫
+∞
sin ω t
0
ω
dω
∫
+∞
sin ωt
0
ω
π 2 , t > 0 dω = ⇒ − π 2 , t < 0
1 1 π 2 + π − 2 = 0, t < 0 1 −1 1 F + πδ (ω ) = , t = 0 = u (t ) jω 2 1 1 π 2 + π 2 = 1, t > 0
证明：
F [ f (at )] = ∫
+∞ s − jω 1 +∞ f ( s )e a ds, a > 0 s = at ∫−∞ a − jω t f (at )e dt = s − jω −∞ 1 f ( s )e a ds, a < 0 a ∫+∞
−∞
1 = a
∫
+∞
−∞
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为 设为t=0) 在原来电流为零的电路中 某一瞬时 设为 进入一单位电量的脉冲, 进入一单位电量的脉冲 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数 则 表示上述电路中的电荷函数, 表示上述电路中的电荷函数
0, t ≠ 0; q(t) = , 1 t = 0.
+∞ −∞ +∞
)
ds
− jω t0
证明：F [ f (t − t0 )] = ∫
f (t − t0 )e − jω t dt
−∞
s = t − t0 ∫ =e
− jω t0
f ( s )e
− jω ( s + t0 )
∫
+∞
−∞
f ( s )e
− jω s
ds = e
F (ω )
推论： 推论：
若F [ f (t )] = F (ω )，
0 t<0 δε(t) 1 给函数序列 δ ε (t ) = 0≤t ≤ε ， 1/ε ε 0 t >ε O 0 t ≠ 0 定义 δ (t ) = lim δ ε (t ) = 。 ε →0 ∞ t = 0
ε
函数称为单位脉冲函数 工程上将δ-函数称为单位脉冲函数。 函数称为单位脉冲函数。
sin ω0t
↔
t
|F(ω)|
π
−ω0
O
π ω0 ω
0, t < 0 , 证明： 例 5 单位阶跃函数 u (t ) = 1, t > 0
1 F [u (t )] = + πδ (ω ). jω