2019届江苏省苏州市高三上学期期末考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A ∩B ＝ Ｗ.2. 复数z ＝1＋2ii(i 为虚数单位)的虚部是 Ｗ.3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是 Ｗ.4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 Ｗ.5. 已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是 Ｗ.6. 如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出n 的值为 Ｗ.7. 在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为Ｗ.8. 曲线y＝x＋2e x在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为Ｗ.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 Ｗ.10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为 Ｗ.11. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝ Ｗ.12. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 Ｗ.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM →·AN →的最小值是 Ｗ.14. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围是 Ｗ.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.求证： (1) 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2) C 1F ∥平面ABE .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知2bc cos A ＝2c －3a . (1) 求角B 的大小；(2) 设函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3－34)，求f (A )的最大值.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于点M ，求点M 的坐标.如图，长途车站P与地铁站O的距离为5千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角θ满足tan θ＝12(其中0<θ<π2)，现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点.(1) 已知修建道路P A，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和22n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－4a (a ，b ∈R ). (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”. (1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由； (2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立. ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立.2019届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ n －7－2 m ，求实数m ，n 的值.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程是ρ＝4cos θ.在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t(t 为参数).若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C. (选修45：不等式选讲)设a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.(1) 求概率P(ξ＝2)；(2) 求ξ的分布列和数学期望.23. 如图，在四棱锥P ABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面P AD⊥平面ABCD，P A＝AD，P A与平面PBC所成角的正弦值为21 7.(1) 求侧棱P A的长；(2) 设点E为AB中点，若P A≥AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷(苏州) 数学参考答案及评分标准1. {3}2. －13. 254. 536 5.13 6. 37. 108.239. 2310. (x－5)2＋(y－2)2＝1711. 11812. (－2，2－23)13. 82－814. [0，1]15. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC. 因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.(2分)因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，所以AB⊥平面B1BCC1.(4分)又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(6分)(2) 取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.(8分)因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，(11分)所以C1F∥EG.因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(14分)16. 解：(1) 在△ABC中，因为2b cos A＝2c－3a，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，所以2sin B cos A ＝2sin C －3sin A .(2分) 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )，所以2sin B cos A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ， 所以3sin A ＝2cos B sin A ，(4分) 在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝32. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(6分)(2) f (x )＝cos x ·(sin x ·cosπ3＋cos x ·sin π3)－34(8分) ＝12sin x ·cos x ＋32cos 2x －34＝14sin 2x ＋34(cos 2x ＋1)－34＝12sin(2x ＋π3)，(10分) 所以f (A )＝12sin(2A ＋π3).在△ABC 中，B ＝π6，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ∈(0，5π6)，(12分)所以2A ＋π3∈(π3，2π)，所以当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，f (A )的最大值为12.(14分)17. 解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c ＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分)所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1，则点B 的坐标为(－1，32).(9分)由题意，得右焦点F (1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－34(x －1).(11分)由⎩⎨⎧y ＝－34（x －1），x 24＋y23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分)所以点M 坐标为(137，－914).(14分)18. 解：(1) 以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系， 因为0<θ<π2，tan θ＝12，所以OP ：y ＝12x .设P (2t ，t )，由OP ＝5，得t ＝1，所以P (2，1).(2分)(解法1)由题意得2m ·P A ＝m ·PB ，所以BP ＝2P A ，所以点B 的纵坐标为3. 因为点B 在直线y ＝x 上，所以B (3，3)，(4分) 所以AB ＝32PB ＝352.(解法2)由题意得2m ·P A ＝m ·PB ，所以BP →＝2P A →.设A (a ，0)(a >0)，又点B 在射线y ＝x (x >0)上，所以可设B (b ，b )(b >0)，由BP →＝2P A →，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝2（a －2），1－b ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，(4分)所以A (32，0)，B (3，3)，AB ＝（3－32）2＋32＝352.答：点A ，B 之间的距离为352千米.(6分) (2) (解法1)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小.当AB ⊥x 轴时，A (2，0)，这时OA ＝2，OB ＝22， 所以y ＝OA ＋22OB ＝2＋8＝10.(8分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0). 令y ＝0，得点A 的横坐标为2－1k ，所以OA ＝2－1k ；令x ＝y ，得点B 的横坐标为2k －1k －1.(10分) 因为2－1k >0，且2k －1k －1>0，所以k <0或k >1，此时y ＝OA ＋22OB ＝2－1k ＋4（2k －1）k －1，y ′＝1k 2＋－4（k －1）2＝－（k ＋1）（3k －1）k 2（k －1）2.(12分)当k <0时，y 在(－∞，－1)上递减，在(－1，0)上递增， 所以y min ＝y |k ＝－1＝9<10，此时A (3，0)，B (32，32)；(14分)当k >1时，y ＝2－1k ＋8（k －1）＋4k －1＝10＋4k －1－1k ＝10＋3k ＋1k （k －1）>10.综上，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处.(16分)(解法2)如图，作PM ∥OA 交OB 于点M ，交y 轴于点Q ，作PN ∥OB 交OA 于点N ，因为P (2，1)，所以OQ ＝1.因为∠BOQ ＝45°，所以QM ＝1，OM ＝2， 所以PM ＝1，PN ＝OM ＝ 2.由PM ∥OA ，PN ∥OB ，得2OB ＝P A AB ，1OA ＝PBAB ，(8分)所以2OB ＋1OA ＝P A AB ＋PBAB＝1.(10分)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小.y ＝OA ＋22OB ＝(OA ＋22OB )(2OB ＋1OA )＝5＋2(OA OB ＋2OBOA )≥9，(14分)当且仅当OA ＝2OB 时取等号，此时OA ＝3，OB ＝322.答：要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处.(16分)19. 解：(1) 当a ＝b ＝1时，f (x )＝x 3＋x 2－4，f ′(x )＝3x 2＋2x .(2分) 令f ′(x )>0，解得x >0或x <－23，所以f (x )的单调增区间是(－∞，－23)和(0，＋∞).(4分)(2) (解法1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a .(6分)因为函数f (x )有两个不同的零点，所以f (0)＝0或f (－2b3a )＝0.当f (0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；(8分) 当f (－2b 3a )＝0时，代入得a (－2b 3a )3＋b (－2b3a )2－4a ＝0，即－827(b a )3＋49(b a )3－4＝0，所以ba ＝3.(10分)(解法2)由于a ≠0，所以f (0)≠0， 由f (x )＝0，得b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x (x ≠0).(6分)设h (x )＝4x 2－x ，h ′(x )＝－8x3－1，令h ′(x )＝0，得x ＝－2.当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增. 当x >0时，h (x )的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 有且仅有一个根；(8分)当x <0时，h (x )min ＝h (－2)＝3，所以b a ＝3时，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分) (3) 当a ＝0时，因为f (x )<ln x ，所以bx 2<ln x . 设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx 2x(x >0).当b ≤0时，因为g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上递增，且g (1)＝－b ≥0，所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；(11分) 当b >0时，令g ′(x )＝1－2bx 2x ＝0，得x ＝12b， 所以g (x )在(0，12b )上递增，在(12b，＋∞)上递减， 所以g (x )max ＝g (12b)＝ln 12b －12. 要使g (x )>0有解，首先要满足ln12b －12>0，解得b <12e①.(13分) 因为g (1)＝－b <0，g (e 12)＝12－b e>0，要使f (x )<ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 2－4b >0，ln 3－9b ≤0，解得ln 39≤b <ln 24 ②.(15分)设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )递减. 所以h (x )max ＝h (e)＝1e >h (2)＝ln 22，所以12e >ln 24.由①②，得ln 39≤b <ln 24.(16分)20. 解：(1) 假设数列{a n }是“回归数列”，则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立， 即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3·2n ＝2k ，(2分)此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立， 所以数列{a n }不是“回归数列”.(4分) (2) ① 因为b n <b n ＋1，所以b n ＋1<b n ＋2，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1>b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )<b n ＋2. 又数列{b n }为“回归数列”，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1， 即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列.(6分) 因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *).(8分)②因为b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝3s ＋1＋s 2－13s ＋s 2－1(*).因为t －3＝2（1－s 2）3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3.又t ∈N *，所以t ＝1，2，3.(10分)当t ＝1时，(*)式整理为3s ＝0，不成立.(11分) 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－13s ＝1.设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，因为c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋33n ＋1， 所以当n ＝1时，c n <c n ＋1；当n ≥2时，c n >c n ＋1， 所以(c n )max ＝c 2＝13<1，所以s 无解.(14分)当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1，因为s ∈N *，所以s ＝1.综上所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.(16分)2019届高三模拟考试试卷(四)(苏州) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723⎣⎢⎡⎦⎥⎤ n －7－2 m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn －1402n －6－14＋3m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(4分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧mn －14＝1，2n －6＝0，－14＋3m ＝1，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.(10分)B. 解：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ， 即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3分)又由⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0.(6分)因为直线l 与圆C 相切，所以|2－m |2＝2，所以m ＝2±2 2.(10分)C. 证明：因为(a ＋b ＋c )(a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b )＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b )(4分) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c 2a ＋b＋b ＋c a 2b ＋c＋c ＋a b 2c ＋a 2＝12(a ＋b ＋c )2，(8分) 所以a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).(10分)22. 解：(1) 当ξ＝2时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任三个， 所以P (ξ＝2)＝C 34C 35＝410＝25.(2分)(2) ξ的可能取值为2，5，2 2. P (ξ＝2)＝25；P (ξ＝5)＝4C 35＝25；(4分)P (ξ＝22)＝C 12C 35＝15.(6分)所以ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望为E (ξ)＝2×25＋5×25＋22×15＝22＋25＋45.(10分)23. 解：(1) 取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ， 因为P A ＝AD ，所以OP ⊥AD . 因为平面P AD 上平面ABCD ，OP ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以OP ⊥平面ABCD ， 所以OP ⊥OA ，OP ⊥OM .又四边形ABCD 是正方形，所以OA ⊥OM .以O 为原点，OA ，OM ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，(1分) 则A (12，0，0)，D (－12，0，0)，B (12，1，0)，C (－12，1，0).设P (0，0，c )(c >0)，则PB →＝(12，1，－c )，CB →＝(1，0，0).设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，(3分)则⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋y 1－cz 1＝0，x 1＝0，取z 1＝1，则y 1＝c ，从而n 1＝(0，c ，1). 设P A 与平面PBC 所成角为α，因为P A →＝(12，0，－c )，所以sin α＝|cos 〈P A →，n 1〉|＝|P A →·n 1||P A →|·|n 1|＝c 14＋c 2·c 2＋1＝217，解得c 2＝34或c 2＝13，所以P A ＝1或P A ＝216.(5分)(2) 由(1)知，P A ≥AB ＝1，所以P A ＝1，c ＝32. 由(1)知，平面PBC 的一个法向量为n 1＝(0，c ，1)＝(0，32，1).(6分) 设平面PCE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，而CE →＝(1，－12，0)，PC →＝(－12，1，－32)，所以⎩⎨⎧x －12y ＝0，－12x ＋y －32z ＝0，取x ＝1，则y ＝2，z ＝3，即n 2＝(1，2，3).(8分)设二面角BPCE 的平面角为β， 所以|cos β|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2372×22＝67＝427. 根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE 的余弦值为427.(10分)。