当r(t) A Bt Ct 2 时, 2
有essr
A 1 Kp
B Kv
C Ka
下面再说明几个问题。 用稳态误差系数Kp、Kv和Ka表示的稳态误差分别被称为
位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程结束 后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。速度误差 和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差，而是指系统在 速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的误差。位置误差、 速度误差和加速度误差的量纲是一样的。
Xi (s)
1 s3
定义： 稳态加速度
ess
lim s
1
1
s0 1 G(s)H(s) s3
1 lim s2G(s)H(s)
s0
1 Ka
误差系数
（3）不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
0型系统的稳态误差：
m
K (is 1)
ν=0
m
K(is 1)
G(s)H(s)
i1 nv
K
p
lim G(s)H (s)
减小和消除稳态误差方法： ·提高系统的开环增益。 ·增加系统开环传递函数中积分环节的个数。 但是这两种方法会降低系统的稳定性。 由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和 动态特性的要求是矛盾的。 因此，系统的稳定性、准确性与快速性之间的关系是 相互关联和相互矛盾的。
系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）， 等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。 当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量组成 时，即
lim (t)
t
lim
s0
s (s)
lim
s0
s
(s)
Xi (s)
lim
s0
s
1
1 G(s)
H
(s)
X
i
(
s)
根据误差E(s) 和偏差 (s)的关系： E(s) (s)
H (s)
得系统的误差为：
E(s)
(s)
H (s)
(s) Xi (s) H (s)
1 H (s)
1
1 G(s)H (s)
s0
0
e ssa
1 Ka
II型系统的稳态误差：
ν=2
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
Kp
lim G(s)H(s)
s0
e ssp
1 1 Kp
0
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
e ssv
1 Kv
0
Ka
lim s2G(s)H(s)
s0
K
e ssa
1 Ka
1 K
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的 稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差 为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可以得如下结论：
(1) 同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。 (2) 同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。 (3) 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态 误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。
e ss
lim
s0
sE(s)
lim
s0
1 s(s1/T)
6.2.2 稳态误差系数（静态误差系数）
（1）系统的“型”的概 念闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 n
s (Tis 1)
i 1
定义： 当ν=0时，称为0型系统，没有积分环节； 当ν=1时，称为I型系统，有1个积分环节； 当ν=2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
i1 n
0
1
e ssa
Ka
(Tis 1)
i1பைடு நூலகம்
I型系统的稳态误差：
ν=1
m
K(is 1)
G(s)H(s) i1 nv sv (Tis 1) i1
Kp
lim G(s)H(s)
s0
1
e ssp
1 Kp
0
Kv
lim sG(s)H(s) s0
K
e ssv
1 Kv
1 K
Ka
lim s2G(s)H(s)
例6-2：某单位反馈系统如图所示，求闭环系统在单位 阶跃、斜坡、加速度输入时的稳态误差。
解：闭环系统的开环传递函数为I型。 单位阶跃输入时的稳态误差： 单位斜坡输入时的稳态误差： 单位加速度输入时的稳态误差：
影响稳态误差的因素： ·给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统 加入不同的输入，稳态误差不同。 ·与时间常数形式的开环增益有关。开环增益K↑，稳 态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 ·与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态 误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。
在以上的分析中，习惯地称输出量是“位置”， 输出量 的变化率是“速度”，但是，对于误差分析所得到的结论同样适 用于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制中，上述的 “位置”就表示温度，“速度”就表示温度的变化率，等等。因 此，对于“位置”、“速度”等名词应当作广义的理解。
作业 P.211：6-1
H (s) C0 (s) -E(s)
H (s) (s) G1(s)
C0 (s) N (s)
+ G2 (s)
E(s)
-
C(s)
定于稳态误差系数：
ess
lim e(t)
t
lim s E(s)
s0
lim
s0
s
e
(s)
X
i
(s)
lim s
1
s0 1 G(s)H (s)
Xi (s)
➢单位阶跃输入
Xi
r(t) 1 t 2时,控制系统的稳态误差值。 2
解:
(s)
1 1G (S)
S S 1/T
当
r(t)
1 2
t
2时
R(s)
1 S3
(1)
E(s)
(s)R(s)
1 S2 (S1/T)
T S2
-
T2 S
T2 S1/T
e(t)
T e2
-
t T
T(t - T)
t 时 ess (2) 由终值定理
0型系统:
GsH s
K0 1s 1 2s 1 m s 1 T1s 1T2s 1 Tn s 1
I型系统:
GsH s
K11s 1 2s 1 m s 1 sT1s 1T2s 1 Tn1s 1
II型系统:
GsH s
K 2 1s 1 2s 1 m s 1 s 2 T1s 1T2 s 1 Tn2 s 1
《控制工程基础》
第6章 控制系统的误差分析和计算 6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 偏差传递函数（误差传递函数）与稳态误差
偏差传递函数：
(s)
s X s s
1
1 G(s)H (s)
得系统的偏差：
(
s)
(s)
X
i
(
s)
1
1 G(s)
H
(
s)
X
i
(s)
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态偏差：
ss
s0
lim
s0
i 1 n
K
(Tis 1)
sv (Tis 1) i1
1
1
e ssp
1 Kp
1 K
i 1
m
K(is 1)
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
lim s
s0
i1 n
0
(Tis 1)
1
i1
essv K v
m
K(is 1)
Ka
lim s2G(s)H(s) lim s2
s0
s0
Xi (s)
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
s E(s)
lim
s0
s
(s) Xi (s) H (s)
lim
s0
s
1 H (s)
1
1 G(s)
H
(s)
X
i
(s)
例6-1：某单位反馈系统如图所示，求当xi(t)=1(t)时 的稳态误差。
解：
例: 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) 1 ,试求当输入信号为 Ts
(s)
1 s
定义：
ess
lim s
1
s0 1 G(s)H (s)
1 s
1
lim
1 G(s)H (s)
1 1 Kp
s0
➢单位斜坡输入
Xi
(s)
1 s2
定义：
e ss
lim s
1
1
s0 1 G(s)H(s) s2
1 lim sG(s)H(s)
s0
1 Kv
稳态位置 误差系数
稳态速度 误差系数
➢单位抛物线输入
（2）稳态误差系数的概念
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
C0 (s)
N (s)
R(s) (s)
G1 ( s )
B(s) -
+ G2 (s)
H (s)
E(s)
-
C(s)
R(s)
1 R1(s) 1(s)