由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大 于零，故矩阵P为正定的。因此，系统为大范围 渐近稳定的。 此时，系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对 时间t的全导数分别为
1 T 3 1 V ( x ) = x Px = x x > 0 2 1 2 0 T T − 1 V ′(x) = −x Qx = x x < 0 0 − 1
T
例5-10 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定，试确定增益的取值范围。
x3
k s +1
1 s+2
x2
1 s
x1
-
解: 由图可写出系统的状态方程为 ɺ 1 0 x1 x1 0 x = 0 x ɺ2 −2 1 2 x3 − k 0 − 1 x 3 ɺ
例5-9 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。 ′ x1 0 1 x1 x′ = − 1 − 1 x 2 2 解: 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xTPx 由定理5-7可知，上式中的正定矩阵P满足李雅普 诺夫方程 PA+ATP=-I. 于是，令对称矩阵P为
由于V’(x)正半定，但其只在x1=0，x2=0时才恒为零， 而在其他状态不恒为零，因此由定理5-6的2)可知， 系统的该平衡态为不稳定的。
下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法 作一小结
V(x) 正定(>0) V’(x) 负定(<0) 结论 该平衡态渐近稳定
负半定(≤0)且不恒为0 正定(>0) 该平衡态渐近稳定 (对任意非零的初始状态的解) 正定(>0) 正定(>0) 正定(>0) 负半定(≤0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解) 正定(>0) 该平衡态稳定 但非渐近稳定 该平衡态不稳定
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不难看出，原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵，则
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳 定性的简便方法，该方法 不需寻找李雅普诺夫函数， 不需求解系统矩阵A的特征值，只需解一个矩阵 代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。 由上述定理，可得如下关于正定矩阵P是李雅普 诺夫矩阵方程的唯一解的推论。
推论5-1 如果线性定常系统x’=Ax在平衡态xe=0是渐 近稳定的，那么李雅普诺夫代数方程 PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 由定理5-7及其推论5-1可知，运用此方法判定系 统的渐近稳定性时，最方便的是选取Q为单位矩 阵，即Q=I。 于是，矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代 数方程: PA+ATP=-I 求解，然后根据P的正定性来判定系统的渐 近稳定性。
3. 李雅普诺夫第二法的几个定理
下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定 理: 渐近稳定性定理(定理5-4) 渐近稳定性定理 稳定性定理(定理5-5) 稳定性定理 不稳定性定理(定理5-6) 不稳定性定理
(1) 渐近稳定性定理
定理5-4 设系统的状态方程为 定理 x’=f(x,t) 其中xe=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)， 满足下述条件: 1) 若V’(x,t)为负定的，则该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的; 2) 更进一步，若随着||x||→∞，有V(x,t)→∞， 那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致 渐近稳定的。
李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方 法和结论。 它不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统; 既适用于定常系统，也适用于时变系统。 因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性 的具有普遍性的方法。 对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明: 1) 此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件， 而非必要条件。 也就是说，若找到满足上述条件的一个李雅 普诺夫函数，则系统是一致渐近稳定或大范 围一致渐近稳定的。
p11 P= p12 p12 p22
将P代入李雅普诺夫方程，可得
p11 p12 0 1 0 − 1 p11 p12 1 0 p − 1 − 1 + 1 − 1 p = − 0 1 12 p22 12 p22
2 V (x) = x12 + x2 2 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 ≤ 0
由于V’(x)是负半定函数，由定理5-5的1)可知， 系统为一致稳定的。
′ x1 = x2 ′ x2 = − x1 − x2
对例5-5，选取李雅普诺夫函数为
1 2 2 V ( x , t ) = ( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 + x2 2
[
]
则
2 2 ɺ V ( x , t ) = −( x1 + x2 )
是负定的，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
例5-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。 ′ k >0 x1 = kx2 ′ x2 = − x1 解： 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果 我们选择正定函数 2 2 V (x) = x1 + kx2 为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)的全 导数 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = 2kx1 x2 − 2kx1 x2 ≡ 0 由于V’(x)非正定，由定理5-5的1)可知，系统为 一致稳定的。
例5-4 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。
′ x1 = x2 ′ x2 = − x1 − x2
解: 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果 我们选择正定函数 2 2 V (x) = x1 + x2 为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间 的全导数 2 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 ≤ 0 是负定函数，故由定理 定理5-4知，根据所选的李雅普诺夫 定理 函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。 但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。
例5-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。 ′ x1 = x2 2 x′ = − x1 + x2 解： 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果 我们选择李雅普诺夫函数为 2 2 V ( x) = x1 + x2 则
2 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2′ = 2 x2 ≥ 0
展开后得，有:
− 2 p12 p − p − p 12 22 11 p11 − p12 − p22 1 0 = − 0 1 2 p12 − 2 p22
因此，得如下联立方程组:
− 2 p12 = −1 p11 − p12 − p22 = 0 2 p − 2 p = −1 12 22
由此定理的结论可知，定理5-5不仅可用于判别平衡 态的稳定性，而且可作为定理5-4的补充，用于判别 平衡态的渐近稳定性。 例5-5 试确定例5-4的系统的平衡态稳定性。
′ x1 = x2 2 x′ = − x1 − x2
解： 前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数。 该函数及其导数分别为
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时，系统有且仅有一个平 衡态xe=0，即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳 定的，则一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其李雅普诺夫函数一定可以 选取为二次型函数的形式。
例5-3 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。 2 x1 = x2 − x1 ( x12 + x2 ) ′ 2 x′ = − x1 − x2 ( x12 + x2 ) 2 解: 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果 我们选择正定函数 2 2 V (x) = x1 + x2 为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间 的全导数 2 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2( x12 + x2 ) 2 < 0 是负定函数。此外，当||x||→∞时，必有V(x)→∞。 因此，由定理 定理5-4知，在原点处的平衡态是大范 定理 围一致渐近稳定的。
上述第(3)点可由如下定理中得到说明。 定理5-7 线性定常连续系统 定理 x’=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件 充要条件为: 充要条件 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定 矩阵P为矩阵方程 PA+ATP=-Q 的解，并且正定函数V(x)=xTPx即为系统的一个 李雅普诺夫函数。
解出p11、p12和p22，得
p11 p12 1 3 1 P= = 2 1 2 p12 p22
为了验证对称矩阵P的正定性，用合同变换法 检验如下:
1 3 1 行( 2) −(1) / 3→( 2) 1 9 0 P= ⇒ 2 1 2 列( 2)−(1) / 3→( 2) 6 0 5
由于V’(x)对任意的x≠0恒为零，因此由定理5-5 中2)可知，该系统是李雅普诺夫意义下的稳定， 但非渐近稳定。
(3) 不稳定性定理 定理5-6 设系统的状态方程为x’=f(x,t)，其中xe=0为 定理 其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函 数V(x,t)，满足下述条件: 1) V’(x,t)为正定的，则该系统在原点处的平衡态是 不稳定的; 2) 若V’(x,t)为正半定的，且对任意的t0和任意的 x(t0)≠0， V’(x,t)在t>t0时不恒为零，那么该平衡态 xe亦是不稳定的。
定理5-4中严格要求选择的李雅普诺夫函数为正定函 数,其导数为负定函数。 这给该定理的应用，特别是寻找适宜的李雅普 诺夫函数带来一定困难。 下面给出一个定理对上述定理 定理5-4作一补充，以 定理 减弱判别条件。