图5.6 运用标准正态分布曲线解题（一）
解：已知 X 85, 10, X甲 70
学生甲的标准分数 Z X甲 X 70 85 1.5
10
查正态分布表， Z 1.5,则P 0.433319 ;
所以Z 1.5左侧的面积为0.5 0.433319 0.06681 200 0.06681 13(人) 答：全年級中比甲生成绩低的人数约为13人。
解：
P(是非题)＝ 2 9
P(选择题)＝ 6 9
P(是非题或选择题)＝ 2 6 8 0.89 99 9
• 概率的两个基本法则
– 乘法法则：两个相互独立事件A、B同时发生的概率 等于两个事件分别发生的概率的积。
P(A B) P(A)P(B)
相互独立事件：一个事件的发生概率与另一个 事件的发生与否无关。
相对密度
0.003 0.021 0.090 0.295 0.330 0.201 0.054 0.005 0.001 1
正态概率分布（正态分布）
f (x)
密 度
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
( x )
68.3％ 95.4％
99.7％
x
3 2 2 3
连续随机变量（X） 图5.2 正态分布曲线
• 已知某省有86582名考生参加1998年全国 普通高校招生入学数学考试，总体成绩服 从均值为66分、标准差为19.79分的正态分 布，试问下列范围内的人数有多少？
（1）60－72分；
（2）72分以上。
推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
• 某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10分， 要择优录取25％的学生进入高一级学校学 习，问最低分数线应是多少分？
• 答：择优录取25％的人的话，最低分数线应为86.7 分。
• 某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛 学生200人，平均分66.78分，标准差为 9.19分，（1）若表彰前20名竞赛优胜者， 其最低分应是多少？（2）某生若得80分， 他在参赛者中排列第几名？
• 分析：已知N=200, X 66.78, 9.19
P( A) K N
• 关于两种概率的理解
抛一枚硬币，落地时正面朝上的概率是多少？
先验概率： P( A) K 1 0.5 N2
经验概率： 大数定律：试验次数越大，P(A)的相对频率估计越好。
表 5.1 抛一枚硬币正面向上的概率统计表
试验次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
• 随机事件：随机现象的各种可能结果（也 称为“事件”，用大写字母A，B，C等表 示）
– 基本事件：不能分解的 – 复合事件：可分解的
事件的概率
• 1.频率 事件发生的概率与频率有关。对于随机事件A， 如果在N次试验中出现a次，则A发生的频率记作
•
F（A）=a/N
• 频率满足不等式0F（A） 1
事件的概率
标准正态曲线下面积的应用
• 使用前提：
– 随机变量（X）服从或近似正态分布，其标准 化后的变量（Z）才能服从标准正态分布，才能 应用正态分布表（标准正态分布曲线）的规律 进行概率的计算。
• 解题关键
– 画出正态分布曲线示意图 – 注意题意转换成Z、P
推求考试成绩特定区间内的人数
• 已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲的 成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的 学生人数是多少？
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
10％
b 图5.7 运用标准正态分布曲线解题（二）
• 设X是一个随机变量，对任意实数x，称
•
F（x）=P（X<=x）
• 为随机变量X的分布函数。
• 离散型随机变量
– 随机变量X只取有限或可列无穷多个值。
– 例：某学生做一道正误判断题，做对记１分， 做错记０分。他在这道题的得分为随机变量X
• 连续型随机变量
– 随机变量X可以取无限的且是不可列的值。
（1）前20名，在所有参赛者中的位置是前10％ 设最低分数点为b，则b点右侧的概率是0.1 b点标准分数对应的P 值是0.5-0.1＝0.4 查正态分布表得b点的Z分数为1.28，根据Z分数 的公式转换求得b点分数为78.54分。
（2）某生得80分，则其Z 分数为1.44 查表Z＝1.44时，P=0.42507 那么等于和高于该生的人数比率为 0.5-0.42507＝0.07493 具体人数＝200×0.07493＝15（人）
• 两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是 多少？3/8
• 设第一题做对为事件A，做错为事件 A ，第 二题做对为事件B，做错为事件 B ，做对第 一题的概率为 P AB ,做对第二题的概率为
P AB
正态分布
• 随机变量 • 正态分布特点(标准正态分布) • 正态分布表 • 正态分布曲线下面积的应用
P(男婴) a ＝1060＝0.51 N 2060
P(女婴) a 1000 0.49 N 2060
• 概率的性质
(1)任何随机事件的概率都是不小于零且不大于１的
数。 0 P( A) 1
(2)不可能事件的概率等于零。
(3)必然事件的概率等于１。
(4)两个互逆事件（对立事件）的概率之和等于１， 逆事件的概率
随机变量：随机现象的函数化
• 随机变量：表示随机现象结果的变量
• 在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本 点出现的随机性，其数量呈现为随机变量。
– 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量
– 每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等 候付款的时间V。Y,U,V是三个不同的随机变量。
• 连续型随机变量的概率分布
– 连续型随机变量X有无限多个可能的取值，那么 任何一个特殊值的概率都是0。
– 由于X的取值是不可数的，则对应的概率密度也 是不可数的。
– 连续型概率分布不能表示为列表的形式，只能 表示为连续型的曲线或者该曲线的函数表达式
– 连续型分布不能计算某一点的概率，只能计算 两点间的概率，以曲线下的面积表示。
P( A) 1 P( A)
(5)小概率事件，P(A)<0.05
• 概率的两个基本法则
– 概率的加法法则：两个互不相容事件A、B之和的概 率等于两个事件分别发生的概率之和。
P(A B) P(A) P(B)
互不相容事件：一次试验中不可能同时出现的事件 称为互不相容事件。
在9道试题中，有6道选择题，2道是非题，1道填空 题，随机抽出一道题为是非题或选择题的概率是 多少？
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
• 概率分布
– 随机变量各取值的概率构成的分布
某学生参加一次数学竞赛，共回答三个问题，求该生答 对题数的概率分布。
表 5.2 概率分布表
X
0
1
2
3
Pi
1/8
3/8
3/8
1/8
考虑全班153位同学体重的概率分布，若体重 以千克为单位，可以精确到无限小数位，你 能否列表显示各种取值的概率？
– 曲线是以过Z=0的纵线为对称轴，两侧横坐标绝对值相等的对应点高度 相等，对应的曲线下面积相等。
– 标准正态分布的平均数、中数、众数三点重合在Z=0这一点上。 – 曲线与对称轴交点处Y值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；
正态分布表
• 根据标准正态分布曲线的函数公式进行计 算编制而成的。通过Z值可查Y值或P值， 也可通过P值查Z值。
正面向上 频率 次数
2048
0.5069
6019
0.5016
12012 0.5005
50粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全 混合在一起，石子中有25粒蓝色，20粒绿 色和5粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出 一粒石子，计算以下概率：
（1）P(红色石子)
（2）P(蓝色或红色石子)
在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴 和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情 况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是 多少？是女婴的概率是多少？
第五章 概率与正态分布
• 概率基本知识
– 随机事件 – 概率的两个基本法则
• 正态分布
– 随机变量 – 正态分布特点(标准正态分布) – 正态分布表 – 正态分布曲线下面积的应用
概率基本知识
• 随机现象与确定性现象
– 抛硬币，落地时，正面向上。 – 掷一粒骰子，掷出７点（不可能事件）。 – 向空中抛一块石头，落到地上（必然事件）。
• 利用正态分布表求：
– （1）正态曲线下Z＝1.34处左侧的面积 – （2）正态曲线下Z＝2.16处右侧的面积 – （3）正态曲线下Z＝-1.64处左侧的面积 – （4）正态曲线下Z＝-1.5处右侧的面积
• 利用正态分布表求：
– （1）中央50％的面积的下限Z值和上限Z值 – （2）正态曲线下右尾20％的面积的下限Z值 – （3）正态曲线下左侧30％的面积的上限Z值
25％
a
图5.7 运用标准正态分布曲线解题（二）