罗定市中等职业技术学校备课本2012至2013学年度第二学期课程名称：经济数学基础适用班级： 11春大专会计授课教师：黄燕琼学期授课进度计划表记事备课教案第一周星期五备课教案备课教案备课教案备课教案备课教案因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。

规定：01 x 从x 0的左右两侧无限接近于x 0,记x →x 002 x 从x 0的左两侧无限接近于x 0,记x →x 0-03 x 从x 0的右两侧无限接近于x 0,记x →x 0+04 x 无限增大时，用记号x →+∞05 x 无限减小时，用记号x →—∞ 06 x 无限增大时，用记号x →∞（2）点x 的δ邻域N(x ，δ)=(x —δ，x+δ)，其中很小的正数，X 的去心δ邻域N(xˆ，δ)=),(),(0000δδ+-x x x x . 1、 x →x 0时函数的极限举例说明：x →1时，函数无限接近于多少？观察：当：x →1时，f(x)=x+1，无限接近2当：x →1时，g(x)=112--x x ，无限接近2f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义定义 1 如果当x → x 0时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A , 则称A 为函数)(x f 当 x → x 0时的极限,记作0lim x x →f(x)=A 或 A x f →)((当 x →x 0时).此时也称)(lim 0x f x x →存在。

如果当x → x 0时, 函数)(x f 不趋近于任何一个确定的常数,则称)(lim 0x f x x →不存在。

如 ： 2)1(lim 1=+→x x ，又如1lim →x 112--x x = 2注意 ： f(x)=112--x x 在处无定义, 但当时,函数f(x)=112--x x 无限趋近于一个确定的常数2,所以1lim →x 112--x x =2。

结论：函数)(x f 当 x → x 0时的极限是否存在，与)(x f 在点0x 处是否有定义无关.如上举例f(x)=112--x x 在处无定义, 但 1lim →x 112--x x = 2.定义2 右极限 当x →x 0+，有A x f x x =+→)(lim 0定义3 左极限 当x →x 0-，有A x f x x =-→)(lim 0函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。

定理1 [极限存在的充分必要条件]函数 )(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是，)(x f 当0x x →时的左右极限都存在并且相等.即 ⇔=→A x f x x )(lim 0=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。

例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y （当2→x 时） ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y （当0→x 时）解：⑴ ∵ 3lim ,2lim 22==+-→→y y x x ，yy x x +-→→≠22lim lim∴ 函数在指定点的极限不存在。

⑵ ∵0031lim ,00sin lim 00=⨯===+-→→y y x x ，y y x x +-→→=00lim lim∴ 函数在指定点的极限y x 0lim →=0定理2 ∞→x lim f(x)=A ⇔+∞→x lim f(x)=-∞→x lim f(x)=A（二）数列的极限定义4 对于数列{n u }，如果当n 无限增大时，通项n u 无限接近于某个确定的常数A ，则称A 为数列n u 的极限，或称数列{n u }收敛于A ，记为∞→x lim n u =A 或n u →A （n →∞）定理3 [单调数列极限存在定理]2、数零是唯一可作为无穷小的常数。

3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。

2、 一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外。

当x →a （或∞）时，如果函数f(x)的极限为0，则称当x →a （或∞）时，f(x)是无穷小量。

若数列{n a }的极限为0，则{n a }是无穷小量。

例如：0sin lim 0=→x x ，所以，当x →0时，sin x 是无穷小量。

同样，当x →0时αx (α>0)，1-cosx ，arcsinx 等都是无穷小量。

当x →+∞时，01lim=+∞→n n ，所以{n1}是无穷小量.都是无穷小量。

，，时，同样，当n n n x 21112+∞→定理4 极限与无穷小之间的关系：，逆命题也成立。

为无穷小量其中。

则若0)(lim :)()()(,)(lim 0=+==→→x x x A x f A x f x x x x ααα无穷小量的性质定理5 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。

例如，当x →0时，x+sinx 也是无穷小量定理6 无穷小量与有界量之积是无穷小量。

例如，当x →0时，xsinx 也是无穷小量。

推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。

例如，当x →0时，3sinx 也是无穷小量。

推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。

（注：两个无穷小之商未必是无穷小）2、无穷大量当x →0x （或±∞）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x →0x （或±∞）时，f(x)是无穷大量。

记作0lim x x → f(x)=∞,或f(x)→∞。

定义6 若∞=→)(lim 0x f x x （或∞=∞→)(lim x f x ）,则称)(x f 为当0x x →（或）时的无穷大量,简称无穷大。

如ox →limx1=∞，表示当 时,x1为无穷大.关于无穷大量几点说明:1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念;2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作或.3.若数列{n x }当n →+∞时，它项的绝对值无限增大，则{n x }是无穷大量。

4.如果当x →0x （或±∞）时，函数f(x)是无穷大量，那么)(1x f 就是当x →0x （或±∞）时的无穷小量，反过来，如果当x →0x （或±∞）时，函数f(x)是非零无穷小量，那么)(1x f 就是当x →0x （或±∞）时的无穷大量。

即⑴无穷大量的倒数是无穷小量。

⑵无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。

(3)无穷大必无界，但反之不真。

因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0， 证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。

四、练习判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y （当2→x 时） ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y （当0→x 时）五、归纳小结理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；熟练掌握∞→x 和0x x →时f(x)的极限存在的充要条件，理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限.课后作业：备课教案备课教案备课教案备课教案设),(00y x M 是曲线C 上的一点（图3－２）,则)(00x f y =．在点M 外另取C 上 一点),(y x N ,割线MN 的斜率为: 0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ 其中ϕ为割线MN 的倾角，当点N 沿曲线C 趋于点M 时，0x x →，如果0lim x x →00)()(x x x f x f --存在,则此极限就是切线MT 的斜率αtan =k,其中α是切线MT 的倾角．上面两个实际问题,虽然其实际意义不同,但解决问题的方法相同.都归结为求函数增量与自变量增量之比的极限:0)()(limx x x f x f x x --→或 x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000,其中0x x x -=∆,称为自变量增量,)()()()(000x f x x f x f x f y -∆+=-=∆,称为相应于自变量增量x ∆的函数增量.在物理学、化学、生物学、经济学等科学领域中,还有许多实际问题,如线密度、 电流、反应速度等,都可归结为函数对于自变量的变化率即函数的导数.三、讲授新课1、导数的概念（1）函数()x f y = 在点0x 处的导数设函数()x f y =在点0x 处的某一邻域内有定义，当自变量X 在点0x 处有增量()0≠∆∆x x ,x x ∆+0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量()()00x f x x f y -∆+=∆，若 极限 ()()xx x x x f x f x y∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim存在，则称()x f 在点0x 处可图3-1图3-2备课教案。