第1课时集合的概念1．了解集合与元素的含义．2．理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题．3．理解集合与元素的关系．4．掌握数学中一些常见的集合及其记法．1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法1．某中学2019年高一年级20个班构成一集合．(1)高一(3)班、高一(2)班是这个集合的元素吗？(2)高二(3)班是这个集合中的元素吗？[答案] (1)是(2)不是2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)本班的高个子同学组成集合．( )(2)联合国常任理事国组成集合．( )(3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．( )(4)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．[针对训练]1．下列所给的对象能构成集合的是______．(填序号) ①所有的正三角形； ②比较接近1的数的全体； ③某校高一年级16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体； ⑤我校教职员工中的年轻人； ⑥2的近似值的全体．[解析] ①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“2的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合．[答案] ①③④ 题型二元素与集合的关系【典例2】 (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征． [解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C ．(2)当x ＝0时，63－0＝2；当x ＝1时，63－1＝3；当x ＝2时，63－2＝6；当x ≥3时不符合题意，故集合A 中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．[针对训练]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. [答案] D3．用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有：17 ________A ；－5________A ．[解析] 由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z .所以17∈A ． 令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A ．[答案] ∈ ∉题型三集合中元素的特性【典例3】 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． [思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a ＝1，则a 2＝1，此时集合A 中两元素相同，与互异性矛盾，故a ≠1； 若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍去)，此时集合A 中两元素为－1,1，故a ＝－1. 综上所述a ＝－1. [答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A ”改为“2∈A ”，其他条件不变，求实数a 的值． (2)本例若去掉条件“1∈A ”，其他条件不变，则实数a 的取值范围是什么？ [解] (1)若a ＝2，则a 2＝4，符合元素的互异性； 若a 2＝2，则a ＝2或a ＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．[针对训练]4．已知集合A由三个元素m，m2＋1,1组成，若2∈A，求实数m的值．[解] ∵2∈A，∴m＝2或m2＋1＝2，则m＝2或m＝±1.当m＝2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意；当m＝1时，集合A中的元素为：1,2,1，不满足互异性，舍去；当m＝－1时，集合A中的元素为：－1,2,1，符合题意．综上知，m＝2或m＝－1.课堂归纳小结1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( ) A ． 2 B ．12 C ．－2 D ．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q ，2∈R .[答案] A2．若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝2019 C ．a ＝1D ．a ＝0或a ＝2019[解析] 若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C ． [答案] C3．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1. A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案] C4．若方程ax 2＋ax ＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a 为( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．0或4[解析] 当a ＝0时，方程变为1＝0不成立，故a ＝0不成立；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，a ＝4，故选A ．[答案] A5．下列说法正确的是________． ①及第书业的全体员工形成一个集合； ②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x 2－1＝0与方程x ＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素； ④x ，3x 3，x 2，|x |形成的集合中最多有2个元素．[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x 2－1＝0的解为x ＝±1，方程x ＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案] ①④课后作业(一)复习巩固一、选择题1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素[解析] A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．[答案] C2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A[解析] 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．[答案] C3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集[解析] 由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．[答案] C4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0[解析] 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a ＝0∉A ．故选B ．[答案] B5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B ．[答案] B 二、填空题6．给出下列关系：①13∈Z ；②5∈R ；③|－5|∉N ＋；④|－32|∈Q ；⑤π∈R . 其中，正确的个数为________．[解析] 由Z ，R ，Q ，N ＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2. [答案] 27．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 满足的条件是________．[解析] 由元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠4，2－a ≠4，a 2≠2－a ，即a ≠±2，且a ≠1. [答案] a ≠±2且a ≠18．若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． [解析] ①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A 中元素为－3，－1，－4，满足题意． ②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A 中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A 中元素为－2,1，－3，满足题意；当a ＝－1时，由②知不合题意．综上可知：a ＝0或a ＝1. [答案] 0或1 三、解答题9．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解] 因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，B中元素为0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.[解] (1)由集合中元素的互异性可知，x≠3.且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.(2)由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，当x＝－2时，x2－2x＝(－2)2－2×(－2)＝8.此时A中含有三个元素3，－2,8满足条件．当x2－2x＝－2，即x2－2x＋2＝0时，Δ＝(－2)2－4×1×2＝4－8<0，故方程无解，显然x2－2x≠－2.综上，x＝－2.综合运用11．下面有四个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解构成的集合有两个元素．其中正确命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个[解析] ①最小的数应该是0；②反例：－0.5∉N，且0.5∉N；③当a＝0，b＝1时，a ＋b＝1；④因为元素的互异性，故集合中有一个元素．[答案] A12．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形[解析] 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．[答案] A13．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.[解析] ∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴整数a 为6. [答案] 614．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a 的值为______．[解析] 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ， ∴b a＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. [答案] 215．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．[解] ∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a 存在，且a ＝－3.。