黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一数学6月月考（期中）试题（考试时间120分钟，共150分）一．选择题(共12题，每题5分)1．已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是（ ）A ．22x y >B ．11x y >C ．11()()33x y >D ．332x y -+>2．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23- 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．453D ．54．在ABC ∆中，已知2222a b c ba +=+，则C =（ ）A ．30B ．150︒C ．45︒D ．135︒5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+6．已知长方体的长，宽，高分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．75π7．已知5cos 5α=，10sin()10βα，αβ，均为锐角，则sin β=（ ） A ．12 B ．22 C 3D ．18．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．18-D ．16-9．已知0x >，0y >，lg 4lg 2lg8x y+=，则142x y +的最小值是（ ）. A ．3 B ．94 C ．4615 D ．910．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2A C =，则sin c C a 的取值范围为（ ） A ．136⎛ ⎝⎭B ．312⎫⎪⎪⎝⎭C ．312⎤⎥⎣⎦D ．136⎡⎢⎣⎦ 11．已知圆1C ：2220x y kx y +-+=与圆2C ：2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过定点()P a b ，，且点P 在直线20mx ny --=上，则22+m n 的取值范围是（ ）A ．1(,)2+∞ B ．1(,]4-∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,)4-∞ 12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），设1A DM ∆的面积为S 则S 的取值范围（ ） A ．233) B ．23(23] C ．23(,3)3 D ．3[3]3 12题图15题图 二．填空题（共4题，每题5分）13．等比数列{}n a 中，12233,6,a a a a +=+=则公比q =14．若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.15．如图，在三棱锥V ABC -中，VC⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且VC BC AC ==，则异面直线CD 与VB 所成角的余弦值为______.16．直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆22(-2)(3)2C x y +-=：的一条弦，且CM CN ⊥，P 是MN的中点.当弦MN 在圆C 上运动时，直线:50l x y --=上总存在两点,,A B 使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是_____.三．解答题（共6题，17题10分，其余每题12分）17（10分）.已知ABC ∆的顶点()1,3A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=，边AC 上的高BH 所在直线方程为2390.x y +-=求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．18（12分）．在ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos ()cos b A c B c a B -=-. （1）求角B 的值；（2）若ABC △的面积为b =a c +的值.19（12分）．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .20（12分）．如图，已知AB ⊥平面,ACD DE ⊥平面,ACD ACD ∆为等边三角形，2,AD DE AB F ==为CD 的中点.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（2）求直线BF 和平面CDE 所成角的正弦值.20题图21（12分）．已知圆M 的圆心在直线1l ：10x y --=上，与直线2l ：43140x y ++=相切，截直线3l ：34100x y ++=所得的弦长为6.（1）求圆M 的方程；（2）过点()4,3P 的两条成90︒角的直线分别交圆M 于A C ，和B D ，，求四边形ABCD 面积的最大值.22（12分）．如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M N ，，两点.（1）过点P 35)-，作圆O 的两条切线，切点分别为E F ，，求PE PF ⋅；（2）若AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点.22题图大庆实验中学高一期中考试数学答案（考试时间120分钟，共150分）一．选择题(共12题，每题5分)1---5 D AB C B6---10 B BD A B11--12 C A二．填空题（共4题，每题5分）13.2 14.5 115.2三．解答题（共6题，17题10分，其余每题12分）17（10分）. ()1由()1,3A 及AC 边上的高BH 所在的直线方程2390x y +-= 得AC 所在直线方程为3230x y -+=又AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=由3-2302-320x y x y +=⎧⎨+=⎩得()1,0C - ()2设(),B a b ，又()1,3A M 是AB 的中点，则13,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭由已知得239013232022a b a b +-=⎧⎪⎨++⋅-⋅+=⎪⎩得()3,1B 又()1,0C -得直线BC 的方程为410x y -+= 18（12分）.（1）∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴()sin sin A B C +=.又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又()0B π∈，，3B π∴=. （2）据（1）求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 2S ac B ==12ac =，② 又13b =，∴据①②解，得7a c +=.19（12分）. 解：（1）14(21)1n n S n a +=-+①，当1n =时，1241S a =+，解得23a = 当2n 时，14(23)1n n S n a -=-+②，①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---，整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-，即12121n n a n a n ++=-， ∴213a a =，3253a a =，⋯，12123n n a n a n --=- 以上各式相乘得121n a n a =-，又11a =，所以21n a n =-，（2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭， 1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+21n nT n ∴=+.20（12分）. （1）证明：取CE 的中点G ，连接,FG BG . ∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =. ∵AB ⊥平面,ACD DE ⊥平面ACD ，∴//AB DE ，∴//GF AB .又12AB DE =，∴GF AB =，∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG .∵ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥. ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥. 又CD DE D =，故AF ⊥平面CDE .∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.222.1.AD DE AB B BM CE CE M FM BCE CDE BM CE BM BCE BCE CDE CE BM CDE BFM AB ACD AC ACD AB AC Rt ABC BC ADEB BE BCE BM BF===⊥⊥⊥⊂⋂=⊥∠⊥⊂⊥∆==∆===（）不妨设，过点作交于，连接由（）可知平面平面又因为，平面平面平面，所以平面，所以为所求线面角因为平面，平面所以，在中中，为等腰三角形，2sin BMBFM BF =∠==所以.21（12分）. （1）设圆M 的方程为：222()()x a y b r -+-=则14314534105b a a b r a b ⎧⎪=-⎪++⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得：215a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求圆方程为22(2)(1)25x y -+-=121122122212212112281122ABCD M MH AC MH BD MH d MH d AC BD MH PH MP MH PH MH PH d PH M d d S AC BD ⊥⊥==⊥====+====四边形（）过作，，记，，因为所以四边形为矩形，矩形中，，所以在直角三角形中，，22122212221212(25-)(25-)50() 4225-25-242.d d d d d d d d ABCD ≤+=-+====当且仅当即时四边形面积有最大值为22（12分）.（1）(3PE =｜｜＝，PO ==，所以cos OPE ∠==. 所以2211cos 2cos 1113FPE OPE ∠=∠-=-=， 所以211528||cos 1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯= 122222222221220,2--20-2012-4041616-40i MN AM y x O M AN y x O N MN x ii MN MN y kx mMN O M x y N x y y kx m k x kmx m x y k m x =+===+=+⎧⇒+++=⎨+=⎩∆=+>（）（）当直线斜率不存在时，所在直线方程为直线与圆的交点（）所在直线方程为直线与圆的交点（，）所在直线方程为；（）当直线斜率存在时，设所在直线为设直线与圆交点（，），（，）则（）2212221212122222212121212224,112()214()()()1km m x x x k k m y y kx m kx m k x x m k m k y y kx m kx m k x x km x x m k --+==+++=+++=++=+-=++=+++=+112212121212122222222(2,),(2,),(2)(2)2()40444402-4002,11120AM x y AN x y AM AN AM AN x x y y x x x x y y m km m k m km m m k k k km k MN A A M N m MN y kx =+=+⊥⋅=+++=++++=---+++====+++===因为，所以则整理得：即或当时直线过点即，，重合，舍去所以，即所在直线为：过0,00,0.MN 定点（）综上所述直线过定点，定点为（）。