第15卷第4期1999年8月
商丘师专学报
JOU RNAL OF SHANGQIU TEACHERS COLLEGE
Vol.15No.4
August,1999
学术争鸣
对梅森素数分布规律的一种猜想
岑 成 德
(中山大学管理学院,广东广州,510275)
摘 要 提出了关于梅森素数分布规律的一种猜想:梅森素数的指数p的二阶差分序列每10项中都有6项非负值与4项负值.
关键词 素数 梅森素数 猜想 二阶差分
中图分类号 O156 1
形如2p-1(p为素数)的数称为梅森数,记为M p;M p中的素数称为梅森素数(Mersenne prime),近半世纪以来,人们所发现的已知最大素数都是梅森素数,研究梅森素数的分布规律,无疑对寻找新的梅森素数及探索是否存在无穷多的梅森素数都具有十分重要的意义.而梅森素数的分布极不规则,使得寻找其分布规律成为一个难题.
笔者通过大量的观察、分析及试验,对梅森素数的分布规律提出了一种猜想.
表1 已发现梅森素数的指数p及一阶差分 p与二阶差分 p2
位次p p 2p 位次p p 2p
12-- 204423170-866
231- 21968952665096
3521 229941252-5014
4720 231121312721020
51364 241993787247452
6174-2 25217011764-6960
7192-2 26232091508-256
8311210 27444972128819780
9613018 28862434174620458
108928-2 2911050324260-17486
1110718-10 3013204921546-2714
12127202 312160918404262496
135******** 32756839540748456706
1460786-308 33859433102594-438154
151279672586 341257787398354295760
162203924252 351398269140482-257872
17228178-846 36*297622115779521437470
183217936858 37*302137745156-1532796
1942531036100
*关于M2976221和M3021377的说明:虽然所有小于3402900的p值都已被至少检查一次,未发现其他梅森素数;
但需要检查两次才能确认其位次.
收稿日期:1999-02-29
表1列出了迄今已发现的所有梅森素数的指数p 及其一阶差分 p 与二阶差分 2p.其中前35个p 值所对应的M p 已被证明依次位于梅森素数的第1至第35位.由于第一、第二个p 值不存在相应的二阶差分,故二阶差分的首项对应于p 值的第三项.
由表1可看出,将二阶差分数列{ 2
p n }从首项开始依次划分为10项一组,则每组中都有6项为非负值、4项为负值.这一结论对已确认梅森素数位次的相应项都正确.因此,提出如下猜想.
猜想1 梅森素数的指数p 所形成数列的二阶差分数列{ 2p n }具有如下性质:如果从首项开始按10项一组来划分,则每组中恰有6项非负值和4项负值.
二阶差分反映 加速度 .由猜想1可见,梅森素数并非 步伐 越来越快地向上,而是以 每十步中快六步慢四步 的方式行进.
奇妙的是本猜想中涉及的3个数字!!!4(负值项数)、6(非负值项数)和10(每组项数)各除以2(梅森素数的底数)之后,恰好是最初的3个素数,也恰是梅森素数的指数p 的最初3个:2、3和5.
如果表1中最后两个梅森素数的位次得到证实,则我们可根据猜想1得到第38~42位梅森素数的分布状况.由于第33~37位梅森素数所对应的二阶差分已有3个负值,故第38~42位所对应的二阶差分仅有一个负值,即这5个梅森素数的指数p 中仅有一个与前一个p 的差小于前2个p 值之差.就是说,5个p 中有4个是 加速 向上的.
最后要说明的是,根据猜想1对已确定位次的梅森素数都成立这一事实,我们不能完全排除存在巧合的可能性.但笔者经计算得到这种巧合发生的概率仅为0 86%.
参 考 文 献
[1] 周海中.关于M p 素数.科技导报(粤版).1991(1、2):8~11[2] 王元.谈谈素数.上海:上海教育出版社.1978
[3] 孙琦,旷京华.素数判定与大数分解.沈阳:辽宁教育出版社,1987
A GUESS AT THE DISTRIBUTION OF MERSENNE PRIMES
Cen Chengde
(Depar tment M anagement,Zhongshan U niversity ,GuangZhao G uang Don,510275)
Abstract The paper presents a guess at the distribution of M ersenne primes:From the 3rd M ersenne prime,there are 6non negative values and 4negative values under every ten terms of a 2nd
order difference sequence of index es ps of the Mersenne Primes.
Key words prime;mersenne prime;guess;2nd order difference
117
第4期 岑成德:对梅森素数分布规律的一种猜想。