第二讲 数列的通项公式与数列求和研热点（聚焦突破）类型一 数列的通项问题1．累加法求通项：形如a n ＋1－a n ＝f (n )．2．累乘法求通项：形如a n ＋1a n＝f (n )． 3．构造法：形如：a n ＋1＝pa n ＋q .4．已知S n 求a n ，即a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.[例1] (2012年高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，所以S n ＝2S n －1＋2n －1，①所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2.所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.跟踪训练数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，数列{a n }的通项公式为________． 解析：由题意，当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，①故当n ＝2时，有a 1·a 2＝22＝4，又因为a 1＝1，所以a 2＝4.故当n ≥3时，有a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，②由①②，得a n ＝n 2（n －1）2. 而当n ＝1时，a 1＝1，不满足上式，n ＝2时，满足上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n ＝1），n 2（n －1）2（n ≥2）. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1）n 2（n －1）2 （n ≥2） 类型二 数列求和数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并；(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n项和，其中{an }，{bn}分别是等差数列和等比数列；(3)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．[例2](2012年高考浙江卷)已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an ＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an ，bn；(2)求数列{an ·bn}的前n项和Tn.[解析](1) 由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝4n－1.所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an ＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知an bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn －Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.跟踪训练(2012年高考课标全国卷)数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为() A．3 690 B．3 660C．1 845 D．1 830解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．∵a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×（10＋234）2＝1 830.答案：D类型三数列的综合应用1．数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等知识．2．数列的单调性的判断方法：(1)作差：a n＋1－a n与0的关系；(2)作商：a n ＋1a n与1的关系． [例3] (2012年高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. [解析] (1)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴2S 1＝a 2－22＋1，2S 2＝a 3－23＋1，∴2a 1＝a 2－3，2(a 1＋a 2)＝a 3－7.由⎩⎪⎨⎪⎧2（a 2＋5）＝a 1＋a 3，2a 1＝a 2－3，2（a 1＋a 2）＝a 3－7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝5，a 3＝19.∴a 1＝1.(2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，①∴当n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1.②①－②得2a n ＝a n ＋1－a n －2n ＋1＋2n ，∴a n ＋1＝3a n ＋2n .两边同除以2n ＋1得a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12， ∴a n ＋12n ＋1＋1＝32(a n 2n ＋1)． 又由(1)知a 222＋1＝32(a 121＋1)，∴数列{a n 2n ＋1}是以32为首项，32为公比的等比数列，∴a n 2n ＋1＝32·(32)n －1＝(32)n ，∴a n ＝3n －2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2n .(3)证明：∵a n ＝3n －2n ＝(1＋2)n －2n＝C 0n ·1n ·20＋C 1n ·1n －1·21＋C 2n ·1n －2·22＋…＋C n n ·10·2n －2n ＝1＋2n ＋2(n 2－n )＋…＋2n －2n>1＋2n ＋2(n 2－n )＝1＋2n 2>2n 2>2n (n －1)，∴1a n ＝13n －2n <12n （n －1）＝12·1n （n －1）， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1＋12[11×2＋12×3＋…＋1n （n －1）] ＝1＋12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ) ＝1＋12(1－1n )＝32－12n <32，即1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.跟踪训练(2012年北京东城模拟)已知数列{a n }满足a 1＝14，a n ＝a n －1（－1）n a n －1－2(n ≥2，n ∈N)． (1)试判断数列{1a n＋(－1)n }是否为等比数列，并说明理由； (2)设c n ＝a n sin （2n －1）π2，数列{c n }的前n 项和为T n .求证：对任意的n ∈N *，T n <23.解析：(1)由a n ＝a n －1（－1）n a n －1－2得 1a n ＝（－1）n a n －1－2a n －1＝(－1)n －2a n －1，所以1a n ＋(－1)n ＝2·(－1)n －2a n －1＝－2[1a n －1＋(－1)n －1]． 又1a 1－1＝3≠0， 故数列{1a n＋(－1)n }是首项为3，公比为－2的等比数列． (2)证明：由(1)得1a n＋(－1)n ＝3·(－2)n －1. 所以1a n＝3·(－2)n －1－(－1)n ， a n ＝13·（－2）n －1－（－1）n ， 所以c n ＝a n sin （2n －1）π2＝13·（－2）n －1－（－1）n (－1)n －1 ＝13·2n －1＋1<13·2n －1. 所以T n <13[1－（12）n ]1－12＝23[1－(12)n ]<23. 析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．【解析】 (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4500－52d .a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32(32a n －2－d )－d＝(32)2a n －2－32d －d＝…＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2]．整理得a n ＝(32)n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1－1] ＝(32)n －1(3 000－3d )＋2d .由题意，知a m ＝4 000，即(32)m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000，解得d ＝[（32）m －2]×1 000（32）m －1＝1 000（3m －2m ＋1）3m －2m . 即该企业每年上缴资金d 的值为1 000（3m －2m ＋1）3m －2m 时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．【名师点睛】 本题考查利用递推数列求通项的方法，考查综合利用数列知识分析解决实际问题的能力，难度较大，解答本题的关键是求出递推关系a n ＋1＝a n －d ，并变形求a n .考情展望高考对数列的通项与求和的考查多以解答题形式出现，主要考查a n 与S n 的关系，以及错位相减求和、裂项求和及分组转化求和，难度中档偏上．名师押题【押题】 在平面直角坐标系中，设不等式组⎩⎨⎧x >0，y ≥0，y ≤－2n （x －3）(n ∈N *)表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1＝2b n ＋a n ，b 1＝－13.求证：数列{b n ＋6n ＋9}是等比数列，并求出数列{b n }的通项公式．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y ≥0，y ≤－2n （x －3）得0<x ≤3，所以平面区域为D n 内的整点为点(3，0)或在直线x ＝1和x ＝2上．直线y ＝－2n (x －3)与直线x ＝1和x ＝2交点纵坐标分别为y 1＝4n 和y 2＝2n ，D n 内在直线x ＝1和x ＝2上的整点个数分别为4n ＋1和2n ＋1，∴a n ＝4n ＋1＋2n ＋1＋1＝6n ＋3.(2)由b n ＋1＝2b n ＋a n 得b n ＋1＝2b n ＋6n ＋3，∴b n ＋1＋6(n ＋1)＋9＝2(b n ＋6n ＋9)，∵b 1＋6×1＋9＝2，∴{b n ＋6n ＋9}是以2为首项，公比为2的等比数列，∴b n ＋6n ＋9＝2n ，∴b n ＝2n －6n －9.。