【什么是数值问题呢？ 所谓数值问题，指的是由一组已 知数据（又称输入数据）求出一组结果数据（又称输出数 据），使得这两组数据之间满足预先指定的某种关系（函数 关系）的问题。（即由一组数求得另一组数）】
⒉制定数值问题的算法
【什么叫算法？ 用完全确定的运算规则（包括运算的逻 辑顺序），对某一类数值问题的输入数据进行处理，判断此 数值问题是否有解，在解存在的情况下，给出输出数据，此 种过程称为算法。】
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
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由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立 数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
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在计算方法中，我们还将讨论： ⒋解的特性（近似程度，敛散性） ⒌各种方法的优缺点（速度，存储量） ⒍各种方法的实用范围（收敛范围）
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⑵ 一个好的方法应具有如下特点：
第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的 有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运 算，是计算机能直接处理的。
1.2.1 误差来源： 用数值计算方法解决科学技术中的具体问题，一
般说都有误差，其来源有下列四种：
（注：由于人为的粗心大意造成的计算错误，不算误差）
1.模型误差 数学描述和实际问题之间的误差 如：匀加速运动或自由落体运动公式
s vt 1 g略t 2去了风力，空气阻力等。
2
2.观察误差 如：读表、读尺、读温度计。
常使用2.71828和3.1416来表示 e,的近似值，由此
所产生的误差就是舍入误差。
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本课程仅讨论后两种误差（截断误差和 舍入误差），讨论它们在计算过程中的传播 和对计算结果的影响，研制能够控制误差的 影响且保证最终结果有足够精度的算法。
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1.2.2 误差的概念和有效数字
就可以得到一个递推公式
uk uk1x ank ,
k=1,2, …,n (1.3)
这样的计算过程只需要计算n次乘法和n次加法。 这种算法和上一种算法相比，不仅逻辑结构简单， 而且计算也明显地减少了。多项式求值的这种算法 称为秦九韶算法（计算框图见图1.2)。
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1.2 误差的来源及其基本概念
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⒊得不到准确解时，设法得到近似解
例：求 x a, a 已0知数。
由数学中的极限理论可知，
当lim n
xn
x时（，极限存在）
有：lim n
xn1
lim
n
1 2
( xn
a xn
)
即x 1 ( x a )
2
x
于是 x2 a, a 0, x a
又∵n只能有限，∴x是近似值。
因此，数值计算方法就是研究用计算机解决数 学问题的数值方法及其理论的科学。它的内容包 括：误差理论、线性与非线性方程(组)的数值解、 矩阵的特征值与特征向量计算、曲线拟合与函数 逼近、插值方法、 数值积分与数值微分、常微分 方程与偏微分方程数值解等。
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⑴ 计算方法要解决的几个问题：
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
（或研究的对象）
1.把实际问题归结为数值问题 ⒉制定数值问题的算法 ⒊得不到准确解时，设法得到近似解 ⒋解的特性（近似程度，敛散性） ⒌各种方法的优缺点（速度，存储量） ⒍各种方法的实用范围（收敛范围）
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⒈ 把实际问题归结为数值问题
由于电子数字计算机的广泛使用，使越来越多的实际问 题能归结为数值问题而得到解决（如：曲线拟合，数值逼近 等）。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
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例：一个简单的算法问题，设要对给定 的
求多x项式
P(x) an xn an1xn1 a1x a0
(1.1)
的值。
一种计算过程是直接计算 p(的x)每一项后
逐项求和，这样要做 n次(n 乘1) 法和 次加n法。 2
计算方法
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1.1 计算方法研究的对象和特点
计算方法实际上就是计算机上使用的数值计算方法，所 以这门课程又称为数值计算方法或数值分析。它是专门研究 求解各种数学问题的数值计算方法。现在，由于大多数科学 计算都比较复杂，人工计算无法完成；而计算机科学的迅速 发展和广泛应用提供了解决这些复杂问题的新途径。
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3.截断误差
如：对 x > 0，求 e x。利用泰勒公式有
ex 1 x x2 xn xn1 ex , 0 1.
2!
n! (n 1)!
取其部分和作为 ex，就产生了截断误差。
4.舍入误差 由于计算机的字长有限，对超过位
数的数字要进行舍入，通常取与它们接近的数来表 示，由此产生的误差称为舍入误差。例如，我们通
•1. 绝对误差
定义1.1 设某数的精确值为 x，* 其近似值为 ，x那么
与 x之* 差x
E x* x
称为近似值 x的绝对误差，简称误差。
一般地，某数的精确值 是x*不知道的，因而 不E
能求出，但往往可以估计出它的大小范围，亦即可
以确定一个正数 ，使得
E(x) x x* ,
此时，称 为 x的绝对误差限。有时也用
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另一种算法就是先将 p(x变) 形为如下形式：
p(x) (((an x an1)x an2 )x a1)x a0 (1.2)

再由内层向外层计算，如设 ：
u0 an , u1 u0 x an1 , u2 u1x an2 , uk (((an x an1)x an2 )x ank1)x ank