B1
B2
A1
x111, x112, , x11t
x121, x122, , x12t
A2
x211, x212, , x21t
x221, x222, , x22t
……
……
Ar
xr11, xr12, , xr1t
xr21, xr22, , xr2t
…… …… …… ……
Bs x1s1, x1s2, , x1st x2s1, x2s2, , x2st
现 对 因 素A 、B 的 每 一 种 不 同 的 水 平 组 合 :
Ai , B j i 1,2, , r; j 1,2, , s
都 安 排 t t 2 次 试 验 （ 称 为 等 重 复 试 验 ）， 假
定各次试验是相互独立的，得到如下试验结 果：
1.双因素方差分析的数据结构如表所示：
称为水平 Ai 下的样本均值；
x• j•
1 rt
r i1
t
xijk
k 1
称为水平 B j 下的样本均值。
r s t
考虑总变差平方和 ST 2 xijk x 2 的如下分解：
i1 j1 k 1
r s t
S T 2
x ijk x 2
i1 j1 k 1
r s t
偏差平方和。
则得到总变差平方和的分解式：
ST 2
SE2
SA2
SB2
S2 A B
（6.31）
r s t
下面分析 S E 2
xijk xij• 2
i1 j1 k 1
在i 、 j 给定时，t 个数据 xijk （ k 1,2, ,t ）与其
t
平均值 xij• 的偏差平方和 xijk xij• 2 纯粹是由随机因
r
1, rs t
1
K2
rs
s
1
t 1
F
s
1, rs t
1
K3
r
rs
1s t
1
1
F
r
1s
1, rs t
1
（ 6.36） （ 6.37） （ 6.38）
通常是直接给出其拒绝域
W01
S
SA
2 E
2 r 1
rst 1
F
r
1, rst
1
W02
S
SB
2 E
2 s 1
rst 1
F
s
1, rst
（6.19）
的t 个样本观测值.
对不同的水平组合 Ai , B j ，假定各总体的方差相
等，但均值uij 可能存在差异。
2.双因素试验的方差分析的数学模型
X ij u ijij,
i 1 ,2 L r(因 素 A 的 水 平 ） ， j 1 ,2 L s因 素 B 的 水 平 ，
ij相 互 独 立 同 分 布 N (0,2)
估计值。
若 H 01 成 立 ， 即 1 2 r 0 ， 那 么 ， 虽 然 不 能 苛 求 做 为 诸 i 的 估 计 值 之 平 方 和 的 若 干 倍 的S A 2
rst
r
（ x i•• x 2 st x i•• x 2 ） 恰 好 等 于 零 ，
i1 j1 k 1
2
=
x ijk x ij • x i•• x x • j• x x ij • x i•• x • j• x
i1 j1 k 1
r s t
rst
rst
x ijk x ij • 2 x i• • x 2 x • j• x 2
i1 j1 k 1
后的剩余部分，称为水平组合 Ai,Bj 的交互效应。
于 是 X ij ~ N u ij , 2 可 以 等 价 的 表 示 为 ：
X ij u ij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
，
i 1,2, , r ; j 1,2, , s
这 表 明 ， 在 因 素 A, B 的 不 同 水 平 组 合 下 ， 试 验 结 果 的 相 对 差 异 u ij u （ 视 为 总 效 应 ） 是 由 如 下 四 部 分 组 成 ：
（ 1） 水 平Ai 下 的 效 应 i ；
（ 2） 水 平 B j 下 的 效 应 j ；
（ 3 ） 水 平 组 合 Ai , B j 的 交 互 效 应 ij ；
（ 4 ） 随 机 因 素 引 起 的 随 机 波 动 ij .
i r1 i i r1ui•u1 si r1js 1uijru 0
H 03 的拒 绝域为W 03S A SEB 2
2
k3
（6.35）
为 了 确 定 界 限 值k1 、 k 2 、k3 ， 按 照 显 著 性 检 验 的 一 般
步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统
计量的分布，
可以证明，
在 H 01 成 立 时
S A 2 r 1 ~ F r 1, rs t 1 S E 2 rs t 1
i1 j1 k 1
i1 j1 k 1
r s t
x ij • x i•• x • j• x 2 + （ 交 叉 乘 积 项 ）
i1 j1 k 1
可以验证上式右边所有的交叉乘积项皆为零
r s t
记
S E 2
x ijk x ij • 2 称 为 误 差 平 方 和 。
i1 j1 k 1
js 1j js 1u•ju1 rjs 1i r1uijsu 0
r
r
ij uijui•u•ju=0
i1
i1
s
s
ij uij uiou•j u=0
j1
j1
因此，要鉴别因素A 是否对结果有显著影响，只
需鉴别因素A 水平的改变是否导致试验结果的明显变
化，这等价于检验因素A 各水平的效应是否相等，即
1
W03
S
2 AB
SE2
r 1s 1
rst 1
F
r
1s
1, rst
1
在方差分析的实际应用中，仍是规范为填写如下的
方差分析表
方差来源
因素A
平方和
S
2 A
因素B
S
2 B
交互效应
S2 A B
A B
随机因素
S
2 E
总和
S
2 T
自由度
均方
r 1 s 1
r 1s 1
S
2 A
S
2 A
r 1
S
2 B
S
2 B
双因 素方 差分 析的 类型
无交互作用的 双因素方差分析
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存在 相互关系
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
二、数据结构
设 因 素A 有 r 个 不 同 的 水 平 A1 , , Ar ， 因 素B 有 s 个 不 同 的 水 平 B1 , , B s ，
（6.30）
是否成立。
r
r
由于 i
i 1
i 1
ui• u
1 s
r i 1
s
uij
j 1
ru
0，
因此，如果
H
成立，那么因素
01
A各水平的效应必皆为
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
记 ： i=ui•u
它是水平 A i 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平A i 下的效应；
记 ： j=u•j u
它是水平 B j 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平B j 下的效应；
记 ： rijuijui•u•ju u ij u i j
所以 r ij 是总效应 uij u 减去 A i 的效应 i 和 B j 的效应 j
rst
S x x 2
2
A
i•• i1 j1 k 1
称为因素A 的主效应偏差平方和。
r s t
S x x 2
2
B
• j• i1 j1 k 1
称为 因素B 的 主效应 偏差平方 和。
r s t
S A B 2 i1 j 1 k 1 x ij • x i•• x • j• x 2 称 为 A B 的 交 互 效 应
第二节 双因素方差分析
➢ 双因素方差分析的类型 ➢ 数据结构 ➢ 离差平方和的分解 ➢ 应用实例
一、 双因素方差分析的类型
如果在试验中有两个可控制因素 A, B ，同时发生变
化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为
双因素试验。
双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素
对结果可能产生的影响。
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想 了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区， 销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不 同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地 区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低 的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、 接受该生产线。
k 1
素引起的，因此，在各种水平组合下总的误差平方和
SE2 就基本上刻划了整个试验中随机因素作用的强 度，以它为尺度来比较各种效应的大小应该说是合理
的。
从矩估计的角度看， x 、 xi•• 、 x• j• 、xij• 分别是 u 、 ui• 、u• j 、uij 的估计值，因此， xi•• x 可作为i ui• u 的估计值； x• j• x 可作为 j u• j u 的估计值； xij• xi•• x• j• x 可作 为 rij u ij u i• u • j u 的