习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或时，和的敛散性可以产生各种不同的的情况。

+∞∫∞+adx x )(ϕ∫∞+adx x f )(解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。

则当收敛时也收敛； ∫∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(当发散时也发散。

∫∞+a dx x f )(∫∞+a dx x )(ϕ证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，∫∞+a dx x )(ϕ0>∀ε ，，a A ≥∃00,A A A ≥′∀：Kdx x A Aεϕ<∫′)(。

于是≤∫′A Adx x f )(εϕ<∫′A A dx x K )(，所以也收敛；∫∞+a dx x f )(当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，∫∞+a dx x f )(00>∃ε，，a A ≥∀00,A A A ≥′∃：εK dxx f A A ≥∫′)(。

于是≥∫′A A dx x )(ϕ0)(1ε≥∫′A A dx x f K ，所以也发散。

∫∞+a dx x )(ϕ（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。

则当发散时，∫也发散；但当收敛时，∫可能收敛，∫∞+a dxx f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞+a dx x f )(∞+a dx x )(ϕ也可能发散。

例如21)(xx f =，)20(1)(<<=p x x p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。

显然有 ∫∞+1)(dx x f 收敛，而对于，则当∫∞+1)(dx x ϕ21<<p 时收敛，当时10≤<p 发散。

设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ。

则当收敛时，∫也收敛；但当发散时，∫可能发散，也可能收敛。

∫∞+adx x f )(∞+a dx x )(ϕ∫∞+adx x f )(∞+a dxx )(ϕ例如xx f 1)(=，21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ。

显然有 ∫∞+1)(dx x f 发散，而对于，则当∫∞+1)(dx x ϕ121≤<p 时发散，当时收敛。

1>p ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。

证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有，f x ()≥0K 是正常数。

⑴ 若f x Kxp ()≤，且，则收敛；p >1∫∞+a dx x f )(⑵ 若f x Kxp ()≥，且，则发散。

p ≤1∫∞+a dx x f )(推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有，且f x ()≥0lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且，则收敛；p >1∫∞+a dx x f )(⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则发散。

∫∞+a dx x f )(证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1。

⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x−++−+∞∫ln ;⑵∫∞++131tan arc dx xx; ⑶110++∞∫x x dx |sin |;⑷x x dxq p11++∞∫（）. +∈R q p ,解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++−−x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x −++−+∞∫ln 收敛。

时，（2）当+∞→x 31arctan x x +～32xπ， 所以积分∫∞++131tan arc dx xx收敛。

（3）因为当时有0≥x xx x +≥+11sin 11，而积分dx x∫∞++011发散，所以积分110++∞∫x x dx |sin |发散。

（4）当时，+∞→x p qxx +1～qp x −1，所以在时，积分1>−q p x x dx qp11++∞∫收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞∫发散。

⒋ 证明：对非负函数，收敛与收敛是等价的。

f x ())cpv (f x dx ()−∞+∞∫f x dx ()−∞+∞∫证 显然，由收敛可推出收敛，现证明当时可由收敛推出收敛。

f x dx ()−∞+∞∫)cpv (f x dx ()−∞+∞∫0)(≥x f )cpv (f x dx ()−∞+∞∫f x dx ()−∞+∞∫由于收敛，可知极限)cpv (f x dx ()−∞+∞∫+∞→A lim =)(A F +∞→A lim∫−AAdx x f )(存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，，00A ∃>0,A A A ≥′∀：ε<−)'()(A F A F ，于是与，成立0,A A A ≥′∀0',A B B ≥∀≤∫′A Adx x f )(ε<−)'()(A F A F与≤∫−−BB dx x f ')(ε<−)'()(B F B F ，这说明积分与都收敛，所以积分收敛。

∫∞+0)(dx x f ∫∞−)(dx x f f x dx ()−∞+∞∫⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫; ⑵sin x xdx p1+∞∫（）; +∈R p ⑶∫∞+1tan arc sin dx xxx p（）;+∈R p ⑷sin()x dx 20+∞∫;⑸∫∞+an m xdx x q x p sin )()( （和q 分别是和n 次多项式， p x m ()x n ()m q x ()n 在范围无零点。

） ),[+∞∈a x 解 （1）因为有界，∫=Axdx A F 2sin )(xx ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim =+∞→x x x ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫收敛；由于≥x xxsin ln ln lnx x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x x x −=，而积分 ∫∞+2ln ln ln dx x x 发散，∫∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分∫∞+2sin ln ln ln dx x xx发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞∫条件收敛。

（2）当时，1>p p pxx x 1sin ≤，而∫∞+11dx x p 收敛，所以当时积分 1>p sin xx dx p1+∞∫绝对收敛； 当时，因为有界，10≤<p ∫=Axdx A F 1sin )(p x1在单调，且),1[+∞01lim=+∞→px x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞∫收敛；但因为当时积分10≤<p ∫∞+1|sin |dx xx p发散，所以当10≤<p 时积分sin x x dx p 1+∞∫条件收敛。

（3）当时，1>p ≤px xx arctan sin px 2π，而∫∞+11dx xp 收敛，所以当时积分1>p ∫∞+1tan arc sin dx x xx p绝对收敛； 当时，因为有界，10≤<p ∫=Axdx A F 1sin )(pxxarctan 在单调，且),1[+∞0arctan lim=+∞→p x xx ，由Dirichlet 判别法，积分∫∞+1arctan sin dx x xx p 收敛；但因为当时积分10≤<p ∫∞+1sin arctan dx x xxp发散，所以当10≤<p 时积分 ∫∞+1arctan sin dx xxx p条件收敛。

（4）令，2x t ==∫∞+02)sin(dx x ∫∞+02sin dt tt ，由于∫∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分条件收敛。

sin()x dx 20+∞∫（5）当且充分大时，有1+>m n x x x q x p n m sin )()(2xK≤，可知当时积分1+>m n ∫∞+an m xdx x q x p sin )()(绝对收敛。

当时，因为有界，且当充分大时，1+=m n ∫=Axdx A F 1sin )(x )()(x q x p n m 单调且0)()(lim=+∞→x q x p n m x ，由Dirichlet 判别法可知∫∞+a nmxdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a，易知∫∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当时，积分1+=m n ∫∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛。

当时，由1+<m n A x q x p n m x =+∞→)()(lim ，A 为非零常数、∞+或，易知积分∞−∫∞+an m xdx x q x p sin )()(发散。

⒍ 设在只有一个奇点f x ()[,]a b x b =，证明定理8.2.和定理8.2.。

'3′5定理8.2.（Cauchy 判别法） 设在[,上恒有，若当′3)a b f x ()≥0x 属于的某个左邻域[时，存在正常数b ,b −η)b 0K ，使得⑴ f x K b x p()()≤−，且p <1，则收敛； f x dx a b()∫⑵ f x K b x p()()≥−，且，则发散。

p ≥1f x dx a b ()∫证 （1）当时，积分p <1∫−ba pdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：Kdx x b b b pεηη<−∫−−')(1。

由于≤∫−−')(ηηb b dx x f εηη<−∫−−')(b b pdx x b K ，所以收敛。

f x dx a b()∫（2）当时，积分1≥p ∫−ba pdx x b )(1发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，0>∀δ，),0(',δηη∈∃：Kdx x b b b p')(1εηη≥−∫−−。