分类讨论促进学生缜密思维习惯的养成
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
首先以小学《相遇问题拓展课》为载体，来说明分类讨论思想在小学生数学学习中的重要作用。
《相遇问题》是北师大版五年级下册第七单元“用方程解决问题”第二课时。
本课是相遇问题的拓展课，旨在提高学生分析情景问题，培养解决问题的缜密思维，借助画线段图理清数量关系。
本班孩子具有一定观察、画图分析、归纳、整理能力，也具有一定的抽象逻辑思维能力。
学生已经学习研究两个物体的运动的相遇情况，在解决问题的过程中，学生能画线段图直观、清晰地分析数量关系，如：路程1+路程2=总路程；速度和×相遇时间=总路程。
学生也能用方程解决简单行程问题，已经掌握用ax+bx=c的等量关系解决问题，初步建立数学模型思想。
学生对问题的深入、全面思考，促进缜密思维的的习惯养成。
一、知识前测，复习旧知，为分类讨论思想做准备。
国家法律规定，小学生必须年满12周岁才能骑自行车，今年淘气和笑笑年满12周岁啦！周末，两人约好在一条直直的马路上练习骑车，笑笑的速度是220
米/分，淘气的速度是180米/分，开始时，两人相距1600米，两人同时出发，，出发后多长时间两人相遇？师生明确数量关系：淘气走的路程+笑笑走的路程=总路程；总路程÷速度和=相遇时间。
本环节以国家法律规定年满12周岁才能骑自行车的生活情景，对解决相遇问题的方法进行复习巩固，根据题意画出线段图，明确：【淘气走的路程+笑笑走的路程=总路程；相遇时间=总路程÷速度和】这两个等量关系，并说清楚解决问题的算术法和方程法，培养学生方法的多样性。
通过知识前测，了解学生学习的起点，掌握学生积累的基础知识、基本技能、基本思想和基本经验，为本课后续分类讨论做好铺垫。
二、聚焦核心问题，感知分类讨论思想。
PPT随机出示一下内容：中国法律规定，小学生必须年满12周岁才能骑自行车，今年淘气和笑笑年满12周岁啦！周末，两人约好在一条直直的马路上练习骑车，笑笑的速度是220米/分，淘气的速度是180米/分，开始时，两人相距1600米，两人同时出发，出发后多长时间两人相距600米？
（一）体会运动过程，感知分类讨论。
师：对比前测题，改变了什么信息？
生：前测是相遇，这道题相距600米。
师：先独立思考一下怎样才能相距600米？
师：同桌之间用橡皮模仿一下笑笑和淘气的运动过程，一块橡皮表示笑笑，，一块橡皮表示淘气。
1、学生模仿运动过程。
2、汇报运动过程。
3、教师适时板书：相向；同向；背向；没遇见，相距600米；遇见后，相
距600米；淘气追笑笑；笑笑追淘气等。
教师引导学生抓住本题中“相距600米”是关键点，让学生经历独立思考、两人小组合作表示运动过程、最后进行分享提升。
在行程问题中渗透方向的重要性，在全面思考中提升缜密思维。
通过感知，身临其境，将自己的思维外显，让自己更明白，让其他同学也更清楚。
(二)画线段图、写出等量关系、列方程求解来具体体现分类讨论思想。
我们刚才通过全面思考，得到了笑笑和淘气骑自行车运动的4种情况，其实数学上可以使用更简洁的方式来表示：线段图。
线段图具有直观性、形象性、实用性。
在解决问题方面，文字叙述较抽象 , 数量关系也较复杂。
如何帮助学生理解数学问题中抽象的数量关系，提高他们解决数学问题的能力，不言而喻，借助线段图来分析题意是非常有必要的。
此环节会根据具体情况选择，有了等量关系。
学生再借助“时间×速度=路程”的数量关系，列方程求解应该是比较容易的，不断的渗透解决问题的策略和思想方法。
三、小学渗透分类讨论思想的其他习题。
其实，不仅仅在行程问题中需要进行分类讨论，我们在之前的学习过程中也有这样类似的题目。
1、一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是5厘米和6厘米，这个等腰三角形的周长是多少厘米？
解析：我们需要明确等腰三角形有两条腰是相等的，所以组成这样的三角形三边可能是5厘米、5厘米和6厘米，也可能是6厘米、6厘米、5厘米。
这两种情况又要验证是否满足组成一个三角形，通过“任意两边之和大于第三边”来进行验证，发现两种方法均符合要求。
2、当a 和b 均大于0，比较 b
a 与1的大小。
解析：本题需要明确a 与b 的大小关系。
有如下三种情况：当a 大于b 时，b a 大于1；当a 等于b 时，b a 等于1；当a 小于b 时，b
a 小于1。
3、将4个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？
解析：根绝题意要求，拼成的长方体有如下两种情况：
1×1×18=18（厘米2） 1×1×16=16（厘米2）
当长方体的个数增加的时候，可能出现的情况不止两种情况。
四、中学数学学习中分类讨论思想的渗透。
解方程是初中数学学习的基础,在解题过程中,可运用方程进行位移、消元或转化运算实现求解。
然而在求解方程的过程中,取值的局限性是学生很容易忽视的问题,如指数的幂,含绝对值方程等,往往容易忽略并非所有未知数取值范围皆为实数。
同时,在分母中存在有字母的情况下,还必须展开分类讨论等。
在教学中,老师必须重点引导学生注意这类问题,并善于运用分类讨论思想进行系统全面的分析,正确解题。
（一）分类讨论思想在方程中的应用。
例如,在七年级的“解元次方程”的教学中,有如下例题:解方程|3-x |+|x+2|=5.对于这类含绝对值的方程,在解题过程中,通常需要将绝对值内的对象分为三类:负数、正数、零进行分类处理。
老师在教学过程中,要善于引导学生运用分类讨论思想,将该题出现的两个绝对值|3-x |和|x+2|分别进行分
类讨论,即对于|3-x|而言,可分为x=3,x＞3,x＜3三类,而对于|x+2|而言,又可分为x=2，x<2,x＞2三类,并将分类的范围在数轴上表示,则将原题转化为以下三类情形：
1.当x<-2时，原方程则可转化为3-x-(x+2)=5,则可得出x值为-2与x<-2是相互矛盾的,可知此情形下,原方程无解。
2.当-2≤x≤3时，此时方程转化为3-x+x+2=5,方程恒成立,则在-2≤x ≤3中的所有实数均为方程的解。
3.当x>3时，此时方程可转化为-(3-x)+x+2=5,得出x值为3,与x>3相互矛盾,因此,在此情形下方程无解。
引导学生运用分类讨论的思想,对问题进行合理分类,逐类讨论,最终得出该题的结论为满足-2≤x≤3这一条件的所有实数。
（二)分类讨论思想在圆中的应用
在初中数学教学中,圆的对称性、圆与圆、圆与直线,以及圆与正多边形之间的关系是教学中的重要内容。
而在圆的对称性及位置关系的解题过程中,分类讨论思想是经常运用的解题思想,它对于使学生更明确题目中的变量及两图形的距离问题等具有重要意义。
例如,在九年级“圆的对称性”的教学中,有如下问题:已知4cm与5cm分别为两个相交圆的半径,6cm为其公共弦长,求两个圆的圆心距。
在解题过程中,由于题目中的图形具有不确定性,因此要运用分类讨论的思想进行解题。
根据圆的对称性可知,公共弦既可以在两圆心同旁,又可以在两圆心之间。
因此,在解题过程中,可根据圆的对称性的知识,对原题展开分类讨论。
运用分类讨论的思想进行讨论,在解题过程中,不仅培养了学生的分析与归纳能力,而且对于发展学生的概括性思维具有重要作用。
如果一节课，没有拓广，那就不是一节完整的课。
让学生感悟思想方法，
达到学生思维的“纵深发展”。
在进行这些内容时，应不断强化分类讨论的意识，让学生去认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到结论才可能是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误，遗漏。
在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生总结出规律性的知识，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
不论是小学生，还是初中生，乃至于高中、大学及参加工作，分类讨论思想始终有用。