P( z0 ) Q( z0 )
是P(z)的0阶零点 z0是f (z)的一阶极点。
Res[ f (z), z0] 规则III
lim
zz0
f
(z)(z z0 ) P(z0)
Q( z0 )
lim
z z0
P(z) Q(z) (z z0)
lim
z z0
P(z) Q(z) Q(z0)
z z0
设z0为f
Re s[ f (z), z1] Re s[ f (z), zn ] Re s[ f (z), ] 0
证明: 在扩充复平面内，构造圆周C : z R， 使 z1, z2 , , zn 包含在C内, 根据留数定理得
C f (z)dz 2i{Re s[ f (z), z1] Re s[ f (z), zn ]}
1
2i
f (z) dz
c
为f (z)在孤立奇点z0 的留数，记作 Res[ f (z), z0 ]
其中，C : z z0 r R
c1 Res[ f (z), z0 ]
f (z)在z0去心邻域上罗朗级数中负幂项 c1 (z z0 )1的系数。
例1 ：
计算 Res [
z(z
1
1)2
,1]
解：在z 1的去心邻域0 z 1 内罗朗级数为：
解： e z 在z 0的去心邻域内的罗朗级数为：
1
ez
1 (1)n
n0 n! z
1
ez
c
dz
{
1 (1)n} dz
c n0 n! z
11
{1
c
z
2! z 2
} dz
2课件 i
2
二.留数定义
（一般情形） 计算积分 c f (z) dz，其中c为z0去心邻域
内围绕z0的任意一条正向简单闭曲线
z1
(z
1 1)5
(z
1 1)4
(z
1 1)3
z 1 1
Res[
z(z
1 1)2
,1]
0
课件
6
3
例2：计算f (z) ze z 在z 0处留数；
3
解： ze z 在z 0的去心邻域内罗朗级数为：
3
ze z z
1 ( 3)n z 3 32
33
n0 n! z
2!z 3!z 2
Res[ze
z1
z1
1
C
ze z 1 z
dz
2i{Re
s[
f
(
z),0]
Re
s[
f
(z),1]}
4i
课件
18
四、无穷远点
设f (z)在R z 内解析，称 1 f (z)dz为f (z)
在点的留数，记为
2i C
1
Res[f (z),]
f (z)dz
2i C
其中，C为圆环域R z 内的圆周 z r R
若函数f
( z )在区域D内除有限个孤立奇点z1 ,
z2 ,
,
z
外
n
处
处解析，
且它在D的边界C上也解析，则
n
f (z)dz 2i Res[f (z), zk ].
C
k 1
证明：分别围绕z1, z2 , , zn 构造小的圆周c1, c2 , , cn
f
(z)在由C,c1, c2 ,
,
cn所围成
的区域上解析，根据定理3.2
c1
19
例子:
求函数f (z)
ez 1 在扩充复平面上各个奇点处的留数。 z2
解: f (z)在扩充复平面上的孤立奇点z 0,z ,
( f (z)在的去心邻域R z 解析）
z 0是f (z)的一阶极点
（z 0是(ez 1)的一阶零点，是z2的二阶零点）
Re
s[
e
z z2
1
,0]＝lim z0
k为偶数
11
eiz 2) f (z) z(z2 1)2
解 z 0, z i为孤立奇点
z 0为z(z2 1)的一阶零点 z i为z(z2 1)2的二阶零点 eiz在z 0,i处不为零。
z 0是f (z)的一阶极点，z i是f (z)的二阶极点
eiz
Res[ f
(z),0]
lim
预备知识
例题3.6
dz
2πi
c(z z0 )n1 0
n n
0 ,
0
C
:围绕z0的任意闭曲线。
柯西定理:
f (z)在以简单闭曲线C为边界的有界闭区域D上解析，
则 C f (z)dz 0
课件
1
5.2 留数的一般理论
5.2.1 留数的定义及计算
一。引例
1
计算积分 e z dz,其中c为z 0的去心邻域内围绕z 0 c 的任意一条正向简单闭曲线。 1
z0
f
(z)
z
lim
z0
(z2
1)2
1
Res[ f (z),i] 1 lim d { f (z) (z i)2}
1! zi dz
lim
zi
d
eiz
{
dz z(z
i)2 }
3 4e
类似地，Res[
f
(z),i]
1 1!
l课im件
zi
d dz
{
f
(z)
(z
i)2}
1 412e
定理5.5(留数定理） 设D是复平面上一个有界闭区域，
f
是 cosz的一阶零点
2
0,1, 为f (z)的一阶极点,
(z)(z zk )
lim
z zk
z zk cos z
lim
z zk
1 (cos
z)'
1
1
sin z |zzk 1
k为奇数 （洛比塔法则）
k为偶数
或
1
1
Res[ f (z), zk ] (cosz)'|课z件zk 1
k为奇数
2
解 z 0为被积函数的一阶极点，z 1为二阶极点
且 z 0, z 1都在C内。 根据留数定理
C
ez z(z 1)2 dz
2i{Res ez
Res[ f (z),0] lim
z0 z(z
[f (z),0] Re
1)2 z 1
s[
f
(
z),1]}
Res[
f
(z),1]
(2
1 1)!
lim
1 2!
1 3!
1
4!
课件 n 0
1 n!
2
(
n0
zn )
n!
z1
2 e 17
2
Re s[ f (z),0] c1 e 2
1
z 1是 f (z) ze z 的一阶极点
1 z
1
(z 1，是(1 z)的一阶零点，是ze z的0阶零点）
1
Re s[ f (z),1] lim f (z)(z 1) lim (ze z ) e
于是
c1 (z z0 )m1 c0 (z z0 )m c1 (z z0 )m1
d m1 dz m1
[
f
(z)( z
z0 )m ]
c1 (m 1)!c0 (z
z0 )m
2
c1
1 lim
(m 1)! zz0
d m1 dz课m件1
[
f
(z)( z
z0 )m ]
9
特别：1)若z0 是f (z)的一阶极点时，则
C1
e
z
(z z
1)2
dz
C2
(
ez z
z 1)2
dz
2i(
(z
ez 1)2
)
|z0
2i
1!
ez (
z
)' |z 1
2i
注：留数定理的计算结果与第三章的结果相同.
思考题
g(z)
z0为f
(
z
)的m阶极
点,
f (z)dz
C
且在C的内部
高阶导数公式 留数定理
课件
f (z)
(z z0 )m
16
z0
f (z)在 z 0的去心邻域0 z 上的罗朗级数
1
ze z f (z)
1 z
( zn1) (
n0
n0
z 1 1
1 (1 n! z
z )n
1
ez
)
(
z zz
(
2
z
n0
z3
n)
(
1 n0 n! )(1
( 1 z
1 )n ) z 1
2!
1 z2
1 3!
1 z3
)
z 1的系数c1
z 0为孤立奇点
z 0的去心邻域上的罗朗级数为
f
(z)
z3 (sin 1)5 z
z3
(1 z
1 3!
1 z3
)5
z 1项不存在
Res[ f (z),0] 0
特别：z0 是f (z)的可去奇点时(罗朗展开式中不含负幂项）
Res[ f (z), z0 ] 0 课件
8
2. 极点处留数的计算
如果z0是f (z)的m阶极点，则
(
ez z2
1)
z
1
f (z)在R z 内的罗朗展开式
zn 1
f (z)
n0
n! z2
1 1 1 z z 2! 3!
ez 1
Re s[ z2 , ] 1