基于Matlab的非线性规划问题的求解
摘要:优化问题分为线性规划问题和非线性规划问题。
对于线性规划问题,可以使用图解法或者单纯形法很方便地求解;对于非线性规划问题,用图解法只能解极为特殊的情况,对于一般的非线性规划问题,求解计算极其复杂。
本文利用Matlab软件,通过实例,高效快捷地实现了非线性规划问题求解。
关键词:优化非线性规划Matlab
人们在日常工作中经常会遇到在一定人力、物力和财办资源条件下,使经济效益(如产值、利润等)达到最大的问题,这就是最优化问题。
其用数学语言可表述为:在一定的约束条件下,求目标函数的极值。
根据涉及的函数类型,优化问题分为线性规划问题、非线性规划问题等。
1 最优化问题模型
对于线性规划问题,可以使用图解法或者单纯形法很方便地求解;求解非线性规划问题涉及到十分复杂的计算,下面分别使用图解法及使用Matlab软件来解非线性规划问题,通过实验得出,使用Matlab软件,能够大大提高求解非线性规划问题的效率。
2 非线性规划问题的图解法
图解法是解决非线性规划问题的最直观的方法,但它只能用于解决二维或者三维空间中某些特殊的问题,对于一般的非线性规划问题
无法使用图解法。
3 用Matlab解非线性规划问题
Matlab是一个数学平台,在这个平台上,可以使用Matlab的各种指令和函数完成计算和作图工作,下面用实例来加以验证。
3.1 单变量函数的最小值问题的求解
对单变量函数求最小值的形式为,可使用fminbnd命令求其最小值。
x=fminbnd(fun,x1,x2,options)变量x返回函数fun在区间[x1,x2]上的最小值点,fun为目标函数的表达式字符串或Matlab自定义函数的函数柄,options为设置优化选项参数,可缺省。
[x,fval] = fm inbnd(…)fval为目标函数的最小值;
[x,fval,exitflag]=fminbnd(…) exitflag为返回算法的终止标志;
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…) output为返回优化算法的一个数据结构。
说明:若参数exitflag>0,表示计算收敛于解x,若exitflag=0,表示超过函数估计值或迭代的最大次数,若exitflag<0表示计算不收敛。
计算结果:函数的最小值点x=0.5223,相应的函数最小值z=0.3974.
3.2 多元函数最小值问题的求解
有约束的非线性问题形式如（1）所示,用命令fmincon求解:
x=fmincon(fun,x0,A,b) x0为初始值,A、b满足线性不等式约束Ax≤b;
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)Aeq、beq满足等式约束Aeq*x = beq;
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)设置解向量x的界,即≤x≤;
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)nonlcon非线性约束函数
说明:
c=(x(1)-1) -x(2);
ceq=[];
z2=x(1) +x(2) -x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2);
第三步:运行以下命令:
clear
x0=[0,1];A=[-2,3];b=6;
options=optimset(’Largescale’,’off’);
options=optimset(options,’linesearch’,’cubicpoly’);
[z,fval,eflag,out]=fmincon(@myfun2,x0,A,b,[],[],[],[],@mycon2,opt ions)
得到的输出结果是:
z =
3.0000
4.0000
fval =
-13
eflag =
1
out =
iterations: 1
funcCount: 7
stepsize: 1
algorithm: ’medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search’
firstorderopt: 1.2762e-007
cgiterations: []
message: [1x144 char]
这表明,经过1次迭代(iterations: 1),收敛(eflag = 1)到最优解(3.0,4.0),目标函数最优值为-13。
优化参数选项options的作用是关闭Largescale算法,选用线性插值(三次多项式)算法,若没有这一选项,在执行时系统就会显示警告错误。
通过以上的分析和实证,我们可以得出,利用matlab软件可以方便高效地求解非线性规划问题,具有极高的利用价值。
参考文献
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