初中数学八年级下册
10.1图上距离与实际距离
教学目标：
知识与技能：结合现实情境，了解线段的比和成比例的线段； 理解并掌握比例的性质及运算.
过程与方法：学生在探究的过程中了解线段的比，能判断四条线段是否成比例。

情感态度与价值观：通过对实际问题的研究，学生提高从数学的角度提出问题、分析
问题和解决问题的能力，增强用数学的意识。

教学重点与难点：
重点：比例的性质及运算。

难点：比例的性质、运算及应用。

教学过程：
一、自主探究：
在一幅江苏省的地图上，南京与徐州的距离是3.4cm ，
而实际南京与徐州的距离是272km 。

根据上述条件你能回答下列问题吗？
①图上距离与实际距离的比是多少？答： 。

②地图的比例尺是多少？答： 。

③你知道比例尺的含义吗？答： 。

④如果继续测得在这张地图上，徐州与连云港间的距离是1.2cm ，你知道徐州与连云港的实际距离吗？答： 。

⑤如果在另一张地图上测得南京与徐州的距离是1.7cm ，你知道在第二张地图上，徐州与连云港间的距离上测量的结果吗？答： 。

⑥如果在第一张地图上测得的南京与徐州的距离，徐州与连云港间的距离分别记为a ，b ；在第二张地图上测得的南京与徐州的距离，徐州与连云港间的距离分别记为c ，d ，请你分别求出a 与b 的比，即 a b （或a ：b ），以及c 与d 的比，即 c d （或c ：d ）,观察a b 与c
d 的值，
你发现了什么？答： 。

概念引入：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这四条线段成比例。

比例的基本性质①：如果a ：b=c ：d ，那么 = ；
反过来，如果ad=bc （b ≠0，d ≠0），那么 = ，或 = 。

思考：由ad ＝bc 得到 a b ＝c
d。

还可以得到哪些不同的比例式？
推广：根据分式的性质，我们可以推导出下面两个结论 ∵a b =c d ， ∵a b =c d ， ∴a b + 1=c
d
+ 1 ∴a b - 1=c
d
- 1 而a b + 1 =a+b b ，c d + 1=c+d d 而a b - 1 =a-b b ，c d - 1=c-d
d ∴
a+b b = c+d d ∴a-b b = c-d
d
于是，我们得到比例的另外两个性质：
比例的基本性质②：如果a b =c d ，那么a+b b =c+d d 比例的基本性质③：如果a b =c d ，a-b b =c-d d
有时，在a b =c d 中，b=c ，即a b =b
d ,我们则把b 叫做a 与c 的比例中项。

即若线段b 为线段a 与
c 的比例中项，则有b 2
=ac 。

二、例题精讲：
例1：在比例尺为1：50 000的地图上，测得A 、B 两地之间的图上距离为16cm ，求A 、B 两地间的实际距离。

例2：（1）填空（其中a 、b 、x 都表示线段的长度）：
①若b ：4=a ：3，则a :b = . ②若3：x =2：6，则x = 。

③若x 为4和9的比例中线，则x = 。

④若2：x =3：（2-x ），则x = 。

（2）根据已知条件，求下列比的结果：①已知a-b b =38，求a b 的值；②已知x 2 = y 7 = z 5,则
x+y-z x 的值。

例3：①如果a b ＝c d ＝e
f
,那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝a b 成立吗？为什么？
②如果a b ＝c d =…=m
n （b +d +…+n ≠0）,那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b 成立吗？为什么？
探究：要测量不能到达的两个目标A 、B 间的距离，一种测量方法如下：
（1）选择两个观测点C 、D ，测出它们之间的距离，并按一定的比例将它们画在纸上； （2）在点C 测出∠ACD 和∠BCD 的度数，在点D 测出∠ADC 和∠BDC 的度数，在纸上画出
点A 、B （如图）。

这样，量出A 、B 两点间的距离，就可以根据比例尺求出A 、B 两点间的实际距离。

如果测得CD=300m ，∠ACD=45°，∠BCD=75°，∠ADC=80°，∠BDC=54°，请用1：5000的比例尺在纸上分别画出点C 、D 和点A 、B ，并通过度量A 、B 两点间的图上距离求出A 、B 两点间的实际距离。

三、当堂反馈
1．等边三角形三边之比是 ；直角三角形斜边上的中线和斜边的比是___ ； 线段2cm 、8cm 的比例中项为 cm 。

2．已知
EC
AE
BD AD ，AD=10，AB=30，AC=24，则AE= ． 3．下列各组长度的线段是否成比例（ ）
A ．4cm , 6cm , 8cm , 10cm
B ．4cm , 6cm , 8cm , 12cm
C ．11cm , 22cm , 33cm , 66cm
D ．2cm , 4cm , 4cm , 8cm
4．在比例尺为1：40000的工程示意图上，2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（ ） A ．0.2172km B ．2.172km C ．21.72km D ．217.2km
5．在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ，那么影长为30m 的旗杆的高是
（ ）
A ．20m
B ．16m
C ．18m
D ．15m
6．已知线段m 、n 、p 、q 的长度满足等式mn =pq ，将它改写成比例式的形式，错误．．的是
( )
Ａ．
n q p m = Ｂ．q n m p = Ｃ．p n m q = Ｄ．q
p
n m = 7．已知a 、b 、c 均为正数，且a b +c = b c +a = c
a +
b =k ,则下列四个点中在正比例函数y =kx 图
象上的坐标是
（
）
A ．（1，
21
） B ．（1，2） C ．（1，2
1-） D ．（1，-1） 8．已知，k ＝a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝b ＋c －a
a
，则k 的值为（ ）
A ．23
B ．3
C ．1或－2
D ．3
2
9．已知有三条长分别为1cm ，4cm ，8cm 的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长
10．已知x 2 ＝ y 3 ＝z
4 ，且2x ＋3y －z ＝18，求x 、y 、z 的值。

11．如图，在⊿ABC 中，AD DB ＝AE
EC ，AB ＝12，AE ＝6，EC ＝4，
（1）求AD 的长；（2）试说明DB AB ＝EC
AC 成立。

课堂小结：
1．本节课你有什么收获呢？ 2．你还有什么不清楚的呢？。