2．2.1 条件概率[学习目标]1．理解条件概率的定义． 2．掌握条件概率的计算方法．3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． [知识链接]1．3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？答 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13，不比其他同学小．2．若事件A ，B 互斥，则P (B |A )是多少？ 答 A 与B 互斥，即A ，B 不同时发生． ∴P (AB )＝0， ∴P (B |A )＝0. [预习导引] 1．条件概率的概念设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．2．条件概率的性质 (1)P (B |A )∈[0，1]．(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A ).要点一 条件概率例1 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．解 法一 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B . 显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为P (AB )＝6×410×9＝415. 由条件概率的计算公式，得 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝415610＝49.法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率是49.规律方法 (1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数．(2)条件概率的定义揭示了P (A )，P (AB )及P (B |A )三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系．跟踪演练1 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，其余为三等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求：(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解 设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则 (1)因为100件产品中有70件一等品，P (B )＝70100＝710.(2)法一 因为95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，∴AB ＝B ，∴P (B |A )＝7095＝1419. 法二 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝7010095100＝1419.要点二 条件概率的综合应用例2 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 解 设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”， 事件C 为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”， 事件D 为“该考生在这次考试中通过”， 事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”， 则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ， 由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )C 610C 620＋C 510·C 110C 620＋C 410·C 210C 620＝12 180C 620. ∵P (AD )＝P (A ∩D )＝P (A )，P (BD )＝P (B ∩D )＝P (B )，∴P (E |D )＝P ((A ∪B )|D ) ＝P (A |D )＋P (B |D ) ＝P （A ）P （D ）＋P （B ）P （D ）＝C 610C 62012 180C 620＋C 510·C 110C 62012 180C 620＝1358. 所以他获得优秀成绩的概率是1358.规律方法 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．跟踪演练2 高二·一班和高二·二班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到一班同学时，正好碰到一名女同学的概率．解 设事件A 为“碰到一班的一名同学”，事件B 为“正好碰到一班的一名女同学”， 易知n (A )＝70，n (AB )＝n (B )＝30， 由条件概率公式求得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝37.1．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＜P (AB ) B ．P (B |A )＝P （B ）P （A ）是可能的 C ．0＜P (B |A )＜1 D ．P (A |A )＝0 答案 B 解析 ∵P (B |A )＝P （AB ）P （A ），而P (A )≤1，∴P (B |A )≥P (AB )，∴A 错， 当P (A )＝1时，P (AB )＝P (B )， ∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ），∴B 正确．而0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴C ，D 错，故选B.2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于( ) A.49 B.29 C.12 D.13 答案 C解析 由题意可知．n (B )＝C 1322＝12，n (AB )＝A 33＝6.∴P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝612＝12.3．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________． 答案 0.5解析 设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”， 则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，而所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ， 于是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)． 解 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}． 设B ＝“有男孩”，则B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}．A ＝“有两个男孩”，则A ＝{(男，男)}，B 1＝“第一个是男孩”，则B 1＝{(男，男)，(男，女)}于是得P (B )＝34，P (BA )＝P (A )＝14，∴P (A |B )＝P （BA ）P （B ）＝13；P (B 1)＝12，P (B 1A )＝P (A )＝14，∴P (A |B 1)＝P （B 1A ）P （B 1）＝12.1．条件概率：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝n （AB ）n （A ）.2．概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概型公式，则P (B |A )＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P (AB )＝AB 中样本点数Ω中样本点数.一、基础达标1．若P (A )＝34，P (B |A )＝12，则P (AB )等于( )A.23B.38C.13D.58答案 B解析 利用条件概率的乘法公式求解．P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝34×12＝38.2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是 ( )A.110B.210C.810D.910答案 A解析 某人第一次失败，第二次成功的概率为P ＝9×110×9＝110，所以选A.3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为 ( ) A.8225B.12C.38D.34答案 C解析 A ＝“下雨”，B ＝“刮风”，AB ＝“刮风又下雨”， ∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110415＝38.4．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A ．0.2B ．0.33C ．0.5D ．0.6答案 A解析 A ＝“数学不及格”，B ＝“语文不及格”，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.030.15＝0.2.所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.5．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2只球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________． 答案 59解析 A ＝{第一次取到新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝C 16C 19，n (AB )＝C 16C 15，∴P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝C 16C 15C 16C 19＝59.6．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，事件B ＝{第二次出现反面}，则P (B |A )＝________. 答案 12解析 P (A )＝24＝12，P (AB )＝14，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝12.7．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解 设“第i 次按对密码”为事件A i (i ＝1，2)，则A ＝A 1∪(A －1A 2)表示“不超过2次就按对密码”．(1)因为事件A 1与事件A －1A 2互斥，由概率的加法公式得P (A )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＝110＋9×110×9＝15. (2)设“最后一位按偶数”为事件B ，则P (A |B )＝P (A 1|B )＋P (A －1A 2|B )＝15＋4×15×4＝25.二、能力提升8．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为 ( ) A.119B.1738C.419D.217答案 D解析 设事件A 表示“抽到2张都是假钞”， 事件B 为“2张中至少有一张假钞”，所以为P (A |B )． 而P (AB )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220. ∴P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝217.9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案 0.72解析 设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.10．如图，四边形EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________. 答案 (1)2π (2)14解析 正方形的面积为2，圆的面积为π. (1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， ∴P (A )＝2π.(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， ∴P (AB )＝12π，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14.11．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”． (1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？ 解 (1)设x 为掷红骰子得到的点数，y 为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x ，y )一一对应，由题意作图(如图)． 显然：P (A )＝1236＝13，P (B )＝1036＝518，P (AB )＝536.(2)法一 P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝512.法二 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝53613＝512.12．某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．解 设事件A 为从10题中依次抽5题，第一题不会答；设事件B 为从10题中依次抽5题，第一题不会答，其余4题中有3题或4题会答．n (A )＝C 14C 49，n (B )＝C 14(C 36C 13＋C 46C 03)．则P ＝C 14（C 36C 13＋C 46C 03）C 14C 49＝2542. 所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为2542.三、探究与创新13．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回的依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回的依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30， 根据分步乘法计数原理n (A )＝A 14A 15＝20， 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2030＝23.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 于是P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1230＝25.(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝2523＝35.故P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1220＝35.。