设计性实验 重力加速度的测量
重力加速度g 是一个反映地球引力强弱的地球物理常数，它与地球上各个地区的经纬度、海拔高度及地下资源的分布有关，一般说来，两极的g 最大，赤道附近的g 最小，两者相差约1/300。
重力加速度的测定在理论、生产和科学研究中都具有重要意义。
实验研究课题
1、测定本地区重力加速度g 值，测量结果至少有4 位有效数字，并要求百分误差小于1％。
2、试比较各种实验测量方法的优缺点。
讨论各种实验测量方法中，哪些量可测得精确？哪些量不易测准？并说明如何减小或消除影响精确测量的各种因素等。
可选择的仪器
单摆、三线摆、复摆、圆球、重锤、米尺、游标卡尺、光电门、数字毫秒计(手机秒表代替)、杨氏模量测量仪等。
设计方案举例：
测量重力加速度的方法很多，有单摆、复摆、开特摆、三线摆、气垫导轨法和自由落体仪法等等，它们各有特点。
下面例举几种比较典型的方案。
方案一、单摆法
一、实验目的：
1、掌握实验原理及方法，进一步熟悉根据什么以及如何选择实验仪器和测量工具；
2、利用单摆测定重力加速度g 值；
3、分析受力情况，讨论误差原因，评价测量结果。
二、实验原理
单摆是用重量可忽视的细线吊起一质量为m 的小重锤，使其左右摆动，当摆角为θ时，重锤所受合外力大小sin =-f mg θ（图1），其中g 为当地的重力
加速度，这时锤的线加速度为sin -g θ。
设单摆长为 L ，则摆的角
加速度 sin /=-g L αθ。
当摆角很小时（小于 5°），可认为 ，这
时sin ≈θθ，即振动的角加速度和角位移成比例，式中的负号表示
角加速度和角位移的方向总是相反。
此时单摆的振动是简谐振动。
从理论分析得知，其振动周期 T 和上述比例系数的关系是
2=T π
ω，所以 2=T （2），式中L 为单摆摆长,是摆锤重心到悬点的距离, g 为当地的重力加速度。
将测出的摆长L 和对应和周期 T 代入上
式可求出当地的重力加速度之值。
又可将此式改写成 2
24=L T g
π ，这表示2
T 和L 之间，具有线性关系，如果针对各种摆长测出各对应周期并绘制图线，则可从图线的斜率求出 g 值。
三、方案的实施：
⑴ 选择仪器：单摆、支架、小球、细线、游标卡尺、米尺、光电门、秒表、铁架台等。
⑵ 操作步骤：
① 制作单摆；
②按实验内容要求自己设计实验方案及数据表格；
③测出相关的数据，填入相关表格；
④改变摆长，再重复测量，测绘周期与摆长的关系曲线。
⑶ 数据处理：
A 、计算法
①计算出平均测量值g ；
②根据珠海地区重力加速度的公认值g = 9.7882/m s ，求出相对不确定度g E ，并求得测量结果为：=±∆g g g (其中∆=⋅g g E g )
B 、直线拟合法: 由式（2）可知，2T 和 L 之间具有线性关系，
用2T —L 直线的斜率求出重力加速度g 。
四、分析讨论题：
1、摆长是指哪两点距离？如何测量才能减小误差？
2、如何测量单摆周期？为什么计算周期个数时应从摆球通过平衡位置时开始计时？
3、根据间接测量误差传递公式，分析哪个物理量对重力加速度测量的影响最大？
4、单摆在摆动中受到空气的阻尼后，振幅会越来越小，试问它的周期是否会变化？
方案二、复摆法
一、实验目的：
1、掌握实验原理及方法，进一步熟悉根据什么以及如何选择实验仪器和测量工具；
2、利用复摆测定重力加速度g 值；
3、分析受力情况，讨论误差原因，评价测量结果。
二、实验原理：
一个围绕定轴摆动的刚体就是复摆。
当复摆的摆动角θ很小时，复摆的振动可视为简谐振动。
根据转动定律有
22=-=-d mgb J J dt
θθβ
即
220+=d mgb dt J
θθ 可知其振动角频率
=
ω 角谐振动的周期为
2=T （1） 式中J 为复摆对回转轴的转动惯量；m 为复摆的质量；b 为复摆重心至回转轴的距离；g 为重力加速度。
如果用J c 表示复摆对过质心轴的转动惯量，根据平行轴定理有
2=+c J J mb (2)
将式（2）代入式（1）得
2=T （3） 以b 为横坐标，T 为纵坐标，根据实验测得b 、T 数据，绘制以质心为原点的T -b 图线，如下图所示。
左边一条曲线为复摆倒挂时的''-T b 曲线。
过T 轴上1=T T 点作b 轴的平行线交两条曲线于点A 、B 、C 、D 。
则与这4点相对应的4个悬点'A 、'B 、'C 、'D 都有共同的周期T 1。
设1'=OA b ，2'=OB b ，1''=OC b ，2
''=OD b ，则有
122==T 或
122==T 消去c j ，得
122==T （4） 将式（4）与单摆周期公式相比较 ，可知与复摆周期相同的单摆的摆长
L '11'=+b b 或 L '22
'=+b b ，故称11'+b b （或22'+b b ）为复摆的等值摆长。
因此只要测得正悬和倒悬的T -b 曲线，即可通过作b 轴的平行线，求出周期T 及与之相应
的11'+b b 或22
'+b b ，再由式（4）求重力加速度g 值。
复摆的周期可以测得非常精确，但直接测量摆长 L 相当困难，
一是重心G 的位置不易确定，重心到转轴的距离b 难以精确测定；二是复摆不可能做成密度均匀的理想形状，其J 难以精确计算。
不
过，可以利用复摆的共轭特性来间接测量等值摆长'L 较方便。
复摆的共轭特性是指在重心G 的两旁总可以找到两个共轭点O
和'O （与重心三点共线），当两点之间的距离等于等效摆长 'L 时，
以O 为悬点的摆动周期和以'O 为悬点的摆动周期正好相等。
根据复摆的这一共轭特性，只要能找到T = T ′的两个点O 和'O ，
测出其间距OO′就可得到与复摆周期T相对应的等效摆长'L。
二、方案实施：
（1）仪器：自制复摆实验仪（合适带孔木板或瓷片）、打孔机、数字毫秒计（手机秒表），光电门、刻度尺、游标卡尺、铁架台等。
（2）操作：
①按照从小到大或从大到小的顺序，先测出它在某个小孔处的周期T，并从摆杆上直接读出悬点到摆杆中心的距b；
②找到第一步时的悬点（小孔）关于摆杆重心的对称点(小孔)，然后测出摆动周期T′
③重复①、②步，测6--8 个对称小孔。
填表
（3）数据处理
①在坐标纸上绘制周期T与悬点位置b之间的关系曲线；
T的直线MN，它与T～b曲
②在坐标图上作一条T=
i
线有a、b、c、d 四个交点（其中a 与c 共轭、b 与d 共轭）；
T相对应的等效摆长'L
③由交点坐标计算与复摆周期
i
④由（4）式算出g
E，并求⑤根据珠海地区重力加速的公认值g = 9.788m/2s，求出相对不确定度
g
E. g)
得测量结果g = g ±Δg(其中Δg =
g
说明：此法测量误差太大，不能符合设计要求，可能的原因有：
1 在实验中，复摆的摆动不能很好的控制在同一平面摆动；
2 实验前没有很好的调节复摆对称。
3复摆摆动可能幅度过大。
4实验中阻尼过大。