2017-2018学年山东省聊城市东阿县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：①；②；③；④．其中正确比例式的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（﹣4，2）3．在直角三角形中各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（）A．缩小2倍B．扩大2倍C．不变D．不能确定4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A．B．C．D．5．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（）A．9cm2B．68cm2C．8cm2D．64cm26．已知方程x2﹣7x+10=0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（）A．9B．12C．12或9D．不能确定7．在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米8．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（）A．B．C．D．9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜010．如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞211．抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．312．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b2＞4ac②abc＞0③2a+b=0④a+b+c＞0⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论的个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（每题3分，共15分）13．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有实数根，则k的取值范围是．14．已知，如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠BOD的度数是．15．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC 相似（C点除外），则格点P的坐标是．16．抛物线y=（x﹣1）2﹣1的顶点在直线y=kx﹣3上，则k=．17．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x，y）的坐标x，y满足y=，则过点B（x，y）的双曲线的关系式为．三、解答题18．（1）计算：（2）解方程：3x2﹣2x﹣5=0（用配方法）19．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：△FED∽△DEB．20．（7分）2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率．21．（7分）如图，某校少年宫数学课外活动初三小组的同学为测量一座铁塔AM的高度如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）22．（9分）某商场以42元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=﹣3x+204．（1）写出商场卖出这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；（2）商场若要每天获利432元，则售价为多少元？（3）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最全适？最大销售利润为多少？23．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2=的图象与的图象关于y轴对称，在y2=的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ丄x轴，垂足是Q，若四边形BCQP 的面积等于2，求P点的坐标．24．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．25．（12分）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M 从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．2017-2018学年山东省聊城市东阿县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：①；②；③；④．其中正确比例式的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由题中DE∥BC，EF∥AB，可得其对应线段成比例，再根据题中所得的比例关系，即可判定题中正确的个数．【解答】解：∵EF∥AB，∴=，=，即=，∵DE∥BC，∴==，即=，==，所以①②④正确，故题中正确的个数为3个．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应能够熟练掌握．2．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（﹣4，2）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：点P（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，4），故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．在直角三角形中各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（）A．缩小2倍B．扩大2倍C．不变D．不能确定【分析】由于锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，所以边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，由此即可确定选择项．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，cosA=，∴Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，则sinA=，cosA=．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．5．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（）A．9cm2B．68cm2C．8cm2D．64cm2【分析】可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x﹣2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．【解答】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：x（x﹣2）=48，解得x1=﹣6（舍去），x2=8，那么原正方形铁片的面积是8×8=64cm2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程应用以及矩形及正方形面积公式，表示出矩形各边长是解题关键．6．已知方程x2﹣7x+10=0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为（）A．9B．12C．12或9D．不能确定【分析】可先求得方程的两根，再根据等腰三角形的性质，结合三角形三边关系进行判断，再求得三角形的周长即可．【解答】解：解方程x2﹣7x+10=0可得x=2或x=5，∴等腰三角形的两边长为2或5，当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、5、5，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为12；当底为5时，则等腰三角形的三边长为5、2、2，2+2＜5，不满足三角形三边关系；∴等腰三角形的周长为12，故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及一元二次方程的解法，确定出等腰三角形的边长是解题的关键．7．在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米【分析】如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，设OE=x，则OF=x﹣1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN．【解答】解：如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，设OE=x，则OF=x﹣1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，∵OA=OC，∴32+x2=42+（x﹣1）2，解得x=4，∴半径OA==5，∴直径MN=2OA=10分米．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解．8．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（）A．B．C．D．【分析】作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE）构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．【解答】解：连接AO并延长交圆于E，连CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E==；又∵∠B=∠E（同弧所对的圆周角相等），∴sinB=．故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【分析】根据反比例函数的增减性再结合反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．【解答】解：∵k＞0，函数图象在一三象限；若x1＜0＜x2．说明A在第三象限，B在第一象限．第一象限的y值总比第三象限的点的y值大，∴y1＜0＜y2．故选：A．【点评】在反比函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分两点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．10．如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y2图象的交点横坐标，可确定y1＞y2时，x的取值范围．【解答】解：∵函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），∴当y1＞y2时，那么直线在双曲线的上方，∴此时x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞2．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．11．抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】对于抛物线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数．【解答】解：抛物线y=2x2﹣2x+1，显然抛物线与y轴有一个交点，令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，∵△=8﹣8=0，∴抛物线与x轴有一个交点，则抛物线与坐标轴的交点个数是2，故选：C．【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式中令一个未知数为0，求出另一个未知数的值，确定出抛物线与坐标轴交点．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b2＞4ac②abc＞0③2a+b=0④a+b+c＞0⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用判别式的意义对①进行判断；抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴得到b=2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对③进行判断；利用x=1，y＞0可对④进行判断；利用x=﹣1，y＜0可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，即b﹣2a=0，所以③错误；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以②错误；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，所以④正确；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以⑤正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（每题3分，共15分）13．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有实数根，则k的取值范围是k≥．【分析】分二次项的系数为0和非0两种情况考虑，当k﹣1=0时，可求出x的值；当k ﹣1≠0时，根据方程有解可找出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出k 的取值范围．综上即可得出结论．【解答】解：当k﹣1=0，即k=1时，原方程为﹣4x﹣5=0，解得：x=﹣，∴k=1符合题意；当k﹣1≠0，即k≠1时，有，解得：k≥且k≠1．综上可得：k的取值范围为k≥．故答案为：k≥．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，分二次项的系数为0和非0两种情况考虑是解题的关键．14．已知，如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠BOD的度数是50°．【分析】连接OC，延长OD交⊙O于点E，根据圆周角定理求出∠BOC，根据垂径定理解答．【解答】解：连接OC，延长OD交⊙O于点E，由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=100°，∵OD⊥BC，∴=，∴∠BOD=∠BOC=50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．15．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC 相似（C点除外），则格点P的坐标是（1，4）或（3，1）或（3，4）．【分析】根据题意作图，可以作相似比为1：2的相似三角形，还要注意全等的情况，根据图形即可得有三个满足条件的解．【解答】解：如图：此时AB对应P1A或P2B，且相似比为1：2，故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）；△ABC≌△BAP3，此时P的坐标为（3，1）；∴格点P的坐标是（1，4）或（3，1）或（3，4）．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用即根据题意作图解此题．还要注意全等是特殊的相似，小心别漏解．16．抛物线y=（x﹣1）2﹣1的顶点在直线y=kx﹣3上，则k=2．【分析】首先求出抛物线的顶点坐标，然后把顶点坐标代入y=kx﹣3，进而求出k的值．【解答】解：∵抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），∵顶点在直线y=kx﹣3，∴﹣1=k﹣3，∴k=2．故答案为2．【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据顶点坐标公式求出抛物线的顶点坐标，此题难度不大．17．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x，y）的坐标x，y满足y=，则过点B（x，y）的双曲线的关系式为y=﹣．【分析】设点B坐标为（x，y），分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△OBD，再由相似三角形的性质得出△OBD的面积，进而根据三角形面积公式可得出结论．【解答】解：设点B坐标为（x，y），分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，∵∠ACO=∠BDO=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴=（）2=（）2=，∵点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，=，∴S△AOC=1，∴S△BOD而点B坐标为（x，y），∴x•（﹣y）=1，∴y=﹣．故答案为y=﹣．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题18．（1）计算：（2）解方程：3x2﹣2x﹣5=0（用配方法）【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值，再相加即可求解；（2）利用配方法：首先移项，再把二次项系数化为1，然后配方求解即可求得答案．【解答】解：（1）=﹣3+1﹣4×+2=﹣3+1﹣2+2=﹣2；（2）3x2﹣2x﹣5=0，3x2﹣2x=5，x2﹣x=，（x﹣）2=，x﹣=±，解得x1=﹣1，x2=．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．19．（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：△FED∽△DEB．【分析】只要证明△AFE∽△BAE，得=，即可推出=，而∠BED=∠BED，可得△FED∽△DEB．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵∠AFE=∠BFA=90°，∴∠AFE=∠BAE，∵∠AEF=∠BEA，∴△AFE∽△BAE，得=，又∵AE=ED，∴=，而∠BED=∠BED，∴△FED∽△DEB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（7分）2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率．【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【解答】解：设2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，100（1+x）2=144，解得，x1=0.2，x2=﹣2.4（舍去），答：2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率是0.2．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．21．（7分）如图，某校少年宫数学课外活动初三小组的同学为测量一座铁塔AM的高度如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）【分析】先根据DE的坡度i=1：2.5求出FD与EF的长，进而可得出GD的长，在Rt△DBG中，由等腰直角三角形的性质得出BG=GD，在Rt△DAN中，根据∠NAD=60°，ND=NG+GD=CH+GD可得出AN的长，再由AM=AN﹣MN=AN﹣BG可得出结论．【解答】解：∵斜坡的坡度是i=═，EF=2，∴FD=2.5 EF=2.5×2=5，∵CE=13，CE=GF，∴GD=GF+FD=CE+FD=13+5=18．在Rt△DBG中，∵∠GDB=45°，∴BG=GD=18，在Rt△DAN中，∵∠NAD=60°，ND=NG+GD=CH+GD=2+18=20，∴AN=ND•tan60°=20×=20，∴AM=AN﹣MN=AN﹣BG=20﹣18≈17（米）．答：铁塔高AC约17米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．22．（9分）某商场以42元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=﹣3x+204．（1）写出商场卖出这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；（2）商场若要每天获利432元，则售价为多少元？（3）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最全适？最大销售利润为多少？【分析】（1）商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定．在这个问题中，每件服装的利润为（x﹣42），而销售的件数是（﹣3x+204），由销售利润y=（售价﹣成本）×销售量，那么就能得到一个y与x之间的函数关系，这个函数是二次函数．（2）利用一元二次方程的解法得出即可；（3）要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值．【解答】解：（1）由题意，销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为：y=（x﹣42）（﹣3x+204），即y=﹣3x2+330x﹣8568．故商场卖这种服装每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为：y=﹣3x2+330x﹣8568；（2）由题意得出：432=﹣3x2+330x﹣8568解得：x1=50，x2=60，答：商场若要每天获利432元，则售价为50元或60元；（3）配方，得y=﹣3（x﹣55）2+507．故当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值在x=﹣时取得．23．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A 点，与y 轴、x 轴分别相交于B 、C 两点，且C （2，0）．当x ＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x ＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y 2=的图象与的图象关于y 轴对称，在y 2=的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2），过P 作PQ 丄x 轴，垂足是Q ，若四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标．【分析】（1）根据x ＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x ＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A 的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求得B 点的坐标后设出P 点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P 的坐标即可．【解答】解：（1）∵x ＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x ＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值．∴A 点的横坐标是﹣1，∴A （﹣1，3），设一次函数的解析式为y=kx +b ，因直线过A 、C ，则，解之得，∴一次函数的解析式为y=﹣x +2；（2）∵y 2=的图象与的图象关于y 轴对称，∴y 2=（x ＞0）， ∵B 点是直线y=﹣x +2与y 轴的交点，∴B（0，2），设P（n，）n＞2，S四边形BCQP=S四边形OQPB﹣S△OBC=2，∴（2+）n﹣×2×2=2，n=，∴P（，）．【点评】此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．24．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．【分析】（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，∵OF∥BC，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF和△OCF中，，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴OF===5∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE=，∴AC=2AE=．【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．25．（12分）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M 从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：a=﹣1，k=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．（2）①∵四边形OMPQ为矩形，∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+5t﹣3=0，解得t=，由于t=＜0，故舍去，∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AON为等腰三角形，有三种情况：（I）若ON=AN，如答图1所示：则Q为OA中点，OQ=OA=，∴t=；（II）若ON=OA，如答图2所示：设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA﹣AQ=1﹣x，在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ2+NQ2=ON2，即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），∴x=，OQ=1﹣x=，∴t=；（III）若OA=AN，如答图3所示：设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ2+AQ2=AN2，即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴OQ=1﹣x=1﹣，∴t=1﹣．综上所述，当t为秒、秒、（1﹣）秒时，△AON为等腰三角形．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．。