由 e1 e
' 1
4 D ' L 得： 1 L1 ( 24 ) D1
换算后，整根轴的 当量长度为：
4 D 同理，可得： L'3 L3 ( 24 ) D3
L L L2 L
' ' 1
' 3
单位曲柄的柔度计算

曲柄形状复杂且形式多样，既受弯曲又受扭转 ，又受过渡部分及轴承间隙的影响等 目前均采用半经验公式 这些公式只有对 与之类型相同的曲轴才适用
弹性参数的当量转换


通常把不同直径的轴段，转换为一标准直径的 轴段，但对其长度做出相应的变化 原则：换算前后，柔度不变 转换前 转换后
L1 L1 e1 GJ 1 G 1 D4 1 32
' ' L L 1 e1' 1 GJ 2 G 1 D 4 2 32 1 4 J d 其中，截面惯性矩： 32
齿轮传动系统的当量转动惯量的换算


通常把系统简化成仍然按 原主动轴的转速（即 曲轴转速）回转的系统 原则：换算前后，动能不变
1 '' 2 I 2 2 2
1 '' ' 2 I 2 1 2
'' I2 所以，换算后的当量转动惯量为： I 令传动比 i 2 则 ''' 2 '' I i I 2 2

D 2
将干扰力矩 按傅里叶级数展开： M g M 0 a1cos a 2 cos2 a 3cos3
b1 sin b 2 sin 2 b 3 sin 3 M 0 M ' sin( ' ' )
' 1
设往复运动质量的当量转动惯量为 I rc ， 则其动能为 1 Erc I rc 2 2 据动能相等
EKm Erc
则
2
8
1 I rc mj R ( ) 2 8
2 2
的值很小，可略去不计，因此，往复运动 质量的当量转动惯量 近似表示为
1 1 2 2 I rc m j R ( m j ) R 2 2
干扰力矩相位图（例）

四冲程六缸内燃机 发火顺序1-5-3-6-2-4
可以看出：




简谐次数ν 相差 曲柄可见数的任意整数 倍（即qm）时，干扰力矩矢量图相同 ν为 曲柄可见数 的整数倍（即 ν=qm）时 ， 简谐力矩的矢量方向相同，这些谐次 的干扰力矩称为 主简谐 ν=3/2,9/2,15/2…时，简谐力矩的矢量在 同一直线上，方向相反，这些谐次的干 扰力矩称为 强简谐 对于主简谐、强简谐引起的共振最危险 ，进行扭振计算时都要计算
''' 2 2 2 2 1
1
1 '' 2 1 '' ' 2 I 2 2 I 2 1 2 2
同理：
I3 i I
2 ' 3
齿轮传动系统的柔度的换算

原则：弹性位能（U）不变
1 1 U 23 ( 23 ) 2 2 e23
1 1 ' U ' ( 23 )2 2 e23
' 23
' 由 U 23 U 23
得
23 2 e23 e ( ' ) 23
' 23
两齿轮在啮合处的周向弧长位移相等
D2 ' D1 23 23 2 2
 ' 23 D1 n2 i
所以，简化成单枝系统后，柔度 是原来的 1/i2 倍
2 i
解此方程，可得n个特征值 及其对应的特征 矩阵[A] 矩阵[A]的第i列矢量{A}i就是 轴系振动 的第i阶固 有圆频率 Ωi的振形矢量
轴系自由扭转振动 振形图


振形图：各质量在 每阶固有圆频率 Ωi 下的相对振幅 相对振幅：将振形 矢量{A}i的第一个 元素进行归1化 ， 但不改变各质量间 的相对振幅比例关 系

其中： —— v’简谐力矩的初相位
'
令： t

—干扰力矩的圆频率
M g M 0 M ' sin( ' t ' )
' 1

对于二冲程内燃机，有


M g M 0 M ' sin( ' t ' )


轴系扭转振动的计算
①
②
③
④
⑤
建立物理模型（将 复杂的轴系 简化换算成 振动特性与之相同 的当量系统 计算当量系统的自振特性（固有频率、相应 频率下的振型） 对作用在各曲拐上的激励载荷进行简谐分析 进行轴系的强迫振动计算，求出共振时的实 际振幅与各轴段的扭转振动附加应力 针对上述计算结果，全面评定整个轴系工作 是否可靠

依次得各质量的运动微分方程：
I1 1 K1 (1 2 ) 0 I 2 2 K1 (1 2 ) K 2 ( 2 3 ) 0 I k k K k 1 ( k 1 k ) K k ( k k 1 ) 0 I n n K n 1 ( n 1 ) 0


不同的自振频率有 不同的振形图 工程上只计算一、 二、三节点频率 节点处扭转应力最 大 根据自由振动的计 算结果，可以定性 地了解内燃机的扭 振特性


轴系扭转振动的激励载荷
①
缸内燃气压力变化产生的激振力矩
（主要）
②
运动部件的惯性载荷引起的激振力 矩
部件吸收功率不均匀而产生的激振 力矩
（次要）


轴系的自由振动

内燃机的阻尼比较小，在计算自振频率时，一 般都忽略阻尼
I —当量转动惯量 K —扭转刚度 —振动扭转角 据达达朗贝尔原理，得：
I k k K k (k 1 k ) K k 1 (k k 1 )

I k k K k 1 (k 1 k ) K k (k k 1 ) 0
内燃机曲轴系统的 扭转振动
——Xiao Peng
曲轴系统（轴系）扭振的产生原因

内因：轴系本身就有自由扭振特性（惯性、 弹性）
外因：周期性变化的激励载荷作用在轴系上 （扭振的能量来源）

轴系扭振的危害


使曲轴间的夹角产生变化，破坏曲轴的原有 平衡状态使机体的振动和噪声显著增大 导致配气定时和喷油定时失去最佳状态，使 内燃机工作性能变坏 使传动齿轮间的撞击、摩擦加剧 扭振附加应力的增加，有可能使曲轴及其传 动齿轮断裂
对应于圆心角 i 的圆 弧带的转动惯量
i 4 4 I Li ( Ri - Ri 1 ) 360 2
' i
整个曲柄臂的转动惯量
Iw
i 1
n
i
360 2
Li ( R R )
4 i 4 i 1
用同样的方法可求得平衡重的转动惯量

综上，单位曲柄（crank）的转动惯量为

往复惯性力
Pj -m ja -m j Rω 2 (cos cos 2 )

往复惯力性力矩
M j T R 1 Pj sin ( ) R cos Pj R(sin sin 2 ) 2 2 1 3 m j R 2ω2 ( sin sin 2 sin 3 sin 4 ) 4 2 4 4
所以，往复运动质量的对曲轴中心线的转 动惯量，相当于将质量的1/2加在曲柄 销中心上 所产生的转动惯量

连杆组换算在曲柄销中心的作旋转运动的质量 对曲轴中心线的转动惯量为
Ic 2 mc2R

2
综上，内燃机单缸的当量转动惯量为
I s I c I rc I c 2 ( I m I p 2I w 2I b ) I rc I c 2

往复惯性力引起的干扰力矩比较小 实际中，往往只考虑燃气压力引起的干扰 力矩
干扰力矩的相位图


对于单列多缸内燃机，各缸作用在曲轴上的干 扰力矩的大小是相同的 但各干扰力矩间有一定的相位差
——第i缸与第1 缸的发火间隔角 ——第i缸的ν次 干扰力矩 ——第i缸的ν次 干扰力矩与第一缸的 ν次干扰力矩相位差 因此，知道发火顺序，即可画出各缸的ν次干 扰力矩的相位图
' 1

对于四冲程内燃机，有


'

2
t ' )
M g M 0 M ' sin(
' 1


2
写成统一行式： M g M 0 M sin( t )

对于二冲程内燃机， 1, 2, 3,
1 3 5 , 1, , 2, , 3, 对于四冲程内燃机， 2 2 2

T
K1 K1 K K K K 1 1 1 1 K K k -2 K k 2 K k 1 K n1 K n1 K1
1 2
短阵形式：
I k K 0
I k K 0
I1 I I 2
In
1 2 n
Im

32
L( D 4 d 4 )

曲柄销（crank pin）对曲轴中心线的转动惯 量