第三章 矩阵的秩与方程组
第三章 矩阵初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、小结、思考题
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本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵 的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利 用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有 非零解的充分必要条件和非齐次线性方程 组有解的充分必要条件，并介绍用初等变 换解线性方程组的方法．内容丰富，难度 较大.
3
⎟ ⎟
0⎟
⎜⎟ ⎝0⎠
⎜ ⎝
−3
⎟ ⎠
其中k为任意常数.
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矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵 .
特点：
（1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零；
（2）每个台阶 只 有一行，
⎜⎛ 1 0 − 1 0 4⎟⎞
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0 0
−1 0 0
0 1 0
−
3⎟
3 0
⎟ ⎟⎟⎠
1 −1
2 2
⎟ ⎟ ⎟
=
B1
⎜ ⎝
3
6 −9
7
9
⎟ ⎠
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⎛ 1 1 −2 1 4 ⎞
⎜ ⎜
2
⎜2
−1 −3
−1 1
1 −1
2 2
⎟ ⎟ ⎟
=
B1
⎜ ⎝
3
6 −9
7
9
⎟ ⎠
r2 r3
− −
r3 2r1
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
1 0 0
1 2 −5
−2 −2
5
1 2 −3
4⎞
0 −6
⎟ ⎟ ⎟
⎪⎪ ⎨ ⎪
x2 − x3 + x4 = 0, 2 x4 = −6,
⎪⎩
x4 = −3,
1 2 3 4
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 1
3 ↔ 4 ⎪⎪
4 −23
⎨ ⎪
x2 − x3 + x4 = 0, x4 = −3,
2 3
⎪⎩
0 = 0,
4
用“回代”的方法求出解.
(B3 ) (B4 )
ri + (−k )rj 或 ri − krj .
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如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系的性质： (1) 反身性 A~A； （2）对称性 若A~B, 则B~A； （3）传递性 若A~B,B~C,则A~C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
=
B2
r4
−
3r1
⎜ ⎝0
3 −3
4
−3
⎟ ⎠
r2 r3
÷ −
2 5r2
⎛ ⎜ ⎜
1 0
r4
−
3r2
⎜0 ⎜
⎝0
1 1 0 0
−2 −1
0 0
1 1 2 1
4⎞
0 −6
⎟ ⎟ ⎟
=
B3
−3
⎟ ⎠
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返回 14
⎛ 1 1 −2 1 4⎞
⎜ ⎜
0
⎜0
1 0
−1 0
1 2
0 −6
⎟ ⎟ ⎟
=
B3
⎜ ⎝
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同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri ↔ rj ri × k ri + krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri ↔ rj;
ri
×
(1) k
或
ri
÷
k;
1 −2 2 = 0 −1 3 = 0=, 0. ∵ 1 3 = 2 ≠ 0,
23
∴ R( A) = 2.
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⎜⎛ 2 − 1 0 3 − 2⎟⎞
例2
求矩阵
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
3 0 0
1 0 0
−2 4 0
−
5 3 0
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
的秩.
解 ∵ B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，
∴ B 的所有 4 阶子式全为零.
2 −1 3 而 0 3 −2 ≠ 0,
就称这两个线性方程组等价
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2
第三章 矩阵的秩与方程组
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）
⎛ 2 −1 −1 1 2⎞
B
=
⎜ ⎜ ⎜
1 4
1 −6
−2 2
1 −2
−4
⎟ ⎟
4⎟
⎜ ⎝3
6 −9
7
⎟ 9⎠
⎛ 1 1 −2 1 4⎞
r1 ↔ r2
⎜ ⎜
2
r3 ÷ 2 ⎜ 2
−1 −3
−1 1
问 (I)与 (II) 是否有非零公共解 ? 若有,求出来;若没
有, 说明理由.
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思考题解答
解 将 (II)的通解代入 (I) 得
⎩⎨⎧−kk1 2++2kk12
+ −
2k2 = 0 k2 = 0
⇒ k1 = −k2 .
故 (II)与 (I)的公共解为
k1(0,1,1,0)T + k2(− 1,2,2,1)T = k2(− 1,1,1,1)T
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二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行（对调 i, j两行,记作ri ↔ rj）； (2) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;
（第 i 行乘 k,记作 ri × k）
(3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri + krj）.
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 1
⎪⎪ ⎪⎨−
2 x2 5 x2
− +
2 x3 5 x3
+ −
2 x4 3 x4
= =
0, −6,
2 3
⎪⎩ 3 x2 − 3 x3 + 4 x4 = −3, 4
(B1 ) (B2 )
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2 ×1 2
3 +52 4 −32
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4,
0
0
0
1
−3
⎟ ⎠
⎛ 1 1 −2 1 4⎞
r3
↔ r4
⎜ ⎜
0
r4 − 2r3
⎜0 ⎜
1 0
−1 0
1 1
0 −3
⎟ ⎟ ⎟
=
B
4
⎟
⎝0 0 0 0 0⎠
⎛ 1 0 −1 0 4⎞
r1 − r2
⎜ ⎜
0
r2 − r3
⎜0 ⎜
1 0
−1 0
0 1
3 −3
⎟ ⎟ ⎟
=
B
5
⎟
⎝0 0 0 0 0⎠
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矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
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特点： F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全 为零 .
m × n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形 F = ⎜⎛ Er O ⎟⎞ ⎝ O O ⎠m×n
此标准形由 m,n, r 三个数唯一确定，其中 r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数 .
004
∴ R(B) = 3.
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⎛ 1 3 −2 2⎞
例3
已知
A
=
⎜ ⎜
0
2
−1
3
⎟ ⎟
，求该矩阵的秩
⎜⎝ −2 0 1 5⎟⎠
解 计算A的3阶子式，
1 3 −2
132
3 −2 2
0 2 −1 = 0, = 0 2 3 = 0, = 2 −1 3 = 0,
−2 0 1
−2 0 5
0 15
m × n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数.
对于 AT， 显有 R( AT ) = R( A).
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⎛1 2 3⎞
例1
求矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
3
−5
⎟ ⎟
的秩
⎜⎝ 4 7 1⎟⎠
解 又∵ A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A = 0，
在 A 中， 1
2 ≠ 0.
所有与矩阵 A等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
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三、小结
( ) 1.初等行(列)变换
⎧ ⎪⎪ ⎨
(1)ri (2)ri
↔ rj
× k(ci
ci ×k
↔
);
cj
;
( ) ⎪
⎪⎩ (3)ri + krj ci + kc j .
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
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因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算．
⎛ 2 −1 −1 1 2 ⎞
若记
B
=
(
A
b)
=
⎜ ⎜ ⎜
1 4
1 −6
−2 2
1 −2