说明 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角,
如果1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ (k为任意整数).
特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
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辐角主值的定义:
在
z
(
0) 的辐角中,
把满足
π
<
φ 0
π
的 φ0
称为 Argz 的主值, 记作φ0 arg z.
C {z | z x iy, x, y R}称为为复数集
复数的本质：有序实数对 (x, y)
z=x+iy
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分
别相等.
设：z1=x1+i·y1 z2=x2+i·y2
z1=z2 x1 x2, y1 y2
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时
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1.0问题的提出
负数有对数吗？
Bernoulli：负数的对数是实数 d(x) dx ln(x) ln x
x x
Leibniz ：不可能有负数的对数
dx d ln x x
只对正数成立
Euler： 在1747年指出
ln(x), ln x 差一常数
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说： y 2cos x 和 y e 1x e 1x 是同一个微分方程的解，因此应该相等
z 0 辐角的主值
arctan
y, x
arg z
arctan
y x
π,
arctan y - π, x
(其中
p
<
arctan
y
arctan
<
p )
y x
,
2
x2
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z在第I象限 z在第II象限 z在第III象限 z在第IV象限
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4.复数的三角表示和指数表示
利用直角坐标与极坐标的关系
(1) i2 1; i 1
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行 四则运算.
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i-虚单位 2.复数的代数形式的定义: 满足：i2=-1
对于" x, y R, 称 z x iy
为复数 .
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=x
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
1743年，发表了Euler公式 cos x 1 e 1x e 1x 2
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sin x 1 e 1x e 1x 2 1
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1.1 复数与复数运算
1. 虚单位
实例 : 方程 x2 1在实数集中无解 .
为了解方程的需要, 引入一个新数 i, 称为虚数单位. 对虚数单位的规定:
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学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念、极限和连续 的概念、掌握解析函数的概念、函数解 析的充要条件、初等函数的定义
教学重点：极限和连续的概念、解析函数的概念；函 数解析性的判别
教学难点：映射、解析函数的概念、 初等函数中的多 值函数及主值的概念
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复变函数论（theory of complex functions）的目的： 把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意
义。
参考书： Lars V.Ahlfors 著，赵志勇等译，《复分析》 机械 工业出版社，2005。
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主要内容:
1 复变函数 2 复变函数的积分 3 幂级数展开 4 留数定理 5 傅立叶变换 6 拉普拉斯变换
加减运算
z1 ± z2 =(x1+y1) ± i(x2 + y2 )
=(x1± x2) +i(y1± y2 )
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
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乘法运算
z1z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
两个复数相乘
12 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) 等于它们的模相乘，
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面.
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点 ( x, y) 表示 .
复数 z x iy 可以用复平
面上的点向量oz 表示.
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复数的向量表示法
y
y
z x iy
o
x
x
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（1）复数的模(或绝对值) 复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
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教材及指导书
一、教材： 梁昆淼编，《数学物理方法》，第四版，高等教育出
版社，2010年1月 二、主要的参考书：
吴崇试 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京大学出 版社，2003年12月
内容：复变函数论
数学物理方程
成绩测定：作业30%＋上课出席参与10% ＋考试60%
2020联/5/10系方式：zyx@
12 exp[i(1 2 )]
幅角相加
除法运算
z1 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
z2
x2 2
y2 2
x2 2
y2 2
x2 iy2 0
1 2
cos(1
2 ) i sin(1
2 ) 2
0Hale Waihona Puke 两个复数相除等xy
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin,
复数可以表示成 z ei 复数的指数表示式
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5.复数的运算
交换律、结合律、分配律成立 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
向量的长度称为 z 的模或绝对值,
z = ρ = x2 + y2 .
显然下列各式成立
y
y
ρ
x z, y z,
o
Pz x iy
x
x
z x y, z z z 2 z2 .
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（2）复数的辐角
在 z 0的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
等于0.
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说:
复数不能比较大小!!!
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3.复数的几何表示
复数 z = x +iy 与有序实数对 (x, y) 成一一
对应 . 因此 , 一个建立了直角坐标系 的平面可以
用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴