（4）
a x (k) n,n1 n1
bn )
取初始向量
X
(0)
(
x (0) 1
,
x (0) 2
,
,
x (0) n
)T
利用（4）反复迭代可以得到一个向量序列 {X (k)}
称式（4）为雅可比迭Jacobi代公式。
若记
a11
D
a22
0
a21 0
0 a12
0
L a31
a32
0
U
特征方程 I D1(L U ) 0
又可以写成 D1 D L U 0 因为 D1 0 ，所以 D L U 0 上式左端为将系数矩阵 A 的对角元同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例8 用雅可比迭代法求解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
由迭代矩阵的特征方程
10 2 1 2 10 1 0 1 2 5
展开得到
(10 2)(50 2 10 3) 0
解得
1
1 5
, 2
1 10
7
, 3
1 10
7
于是 (J ) 1 7 0.3646 1
10
因而雅可比迭代公式是收敛的。
练习:考察用雅可比Jacobi迭代法解方程组 AX=b的收敛性，
解：相应的雅可比迭代公式为
x1(
k
1)
1 10
(2x2(k )
x (k) 3
3)
x2(k
1)
1 10
(2
x1(
k
)
x (k) 3
15)
x3(k
1)
1 5
(
x1(
k
)
2x2(k )
10)
取初值
x (0) 1
x (0) 2
x (0) 3

，按迭代公式进行迭代，
得计算结果
k x (k) 1
x (k) 2
ann
an1 an2
an1 0
a1n
a2n
an1,n
0
则 AX=b 的系数矩阵 为A=D-L-U , 雅可比迭代公 式的矩阵表示形式为
X (k1) D1(L U ) X (k) D1b 其中 D1(L U ) 称为雅可比迭代矩阵。
记为 BJ D1(L U )
我们用定理2来判断雅可比迭代公式是否收敛 需要考虑雅可比迭代矩阵 D1(L U )
4 0.9716 1.9700 2.9540 9 0.9998 1.9998 2.9998
原方程组的准确解为 x1 1, x2 2, x3 3
可以看出，当迭代次数增加时，迭代结果 越来越接近准确解.
因此，
x (9) 1
0.9998, x2(9)
1.9998, x3(9)
2.9998
可以作为原方程组的近似解。
an,n1xn1 bn )
获得相应的迭代公式
x1(k
1)
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
x2 ( k
1)
1 a22
(a21x1(k )
a23 x3(k )
xn(
k
1)
1 ann
(an1x1(k )
an2 x2(k )
a1n xn(k ) b1)
a2n xn(k ) b2 )
1、雅可比（Jacobi）迭代法
由方程组 AX=b 的第 i 个方程解出 xi (i 1, 2, , n) 得到一个同解方程组
x1
1 a11
(a12 x2
a13 x3
x2
1 a22
(a21x1
a23x3
xn
1 an1
(an1x1
an2 x2
a1n xn b1) a2n xn b2 )
x (k) 3
k
x (k) 1
x (k) 2
x (k) 3
00
0
0
5 0.9894 1.9897 2.9823
1 0.3000 1.5000 2.0000 6 0.9963 1.9961 2.9938
2 0.8000 1.7600 2.6600 7 0.9986 1.9986 2.9977
3 0.9180 1.9260 2.8640 8 0.9995 1.9995 2.9992
其中 1 0 1
A 1 1
0
1 2 3